Ricevo da Marco la seguente domanda:
Gentile professore,
vorrei porle la seguente domanda: è possibile determinare il periodo di una funzione fratta partendo dal periodo della funzione del numeratore e del denominatore? O, in ogni caso, bisognerebbe risolvere l’equazione \(f(x)=f(x+kT)\) per determinare il periodo \(T\)? Potrebbe inoltre aiutarmi a calcolare il periodo della funzione
\[y=\sqrt{\frac{\sin x}{\sin x-\cos x}}\quad ?\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Marco,
ho già risposto in passato in questa rubrica in merito alla questione non banale della determinazione dell’eventuale periodo di una funzione che sia ottenuta dalla combinazione di diverse funzioni periodiche (vedi articolo del 3/11/2010 “Funzioni periodiche”), e riprendo una parte di quella risposta: premesso che l’argomento è complesso, e che non esistono purtroppo regole generali per la determinazione del periodo di funzioni ottenute operando fra loro in modo generale altre funzioni periodiche, possiamo dire che valgono almeno le seguenti:
- se una funzione \(f(x)\) è periodica di periodo \(P\) la funzione \(f(kx)\), con \(k\neq 0\), è periodica di periodo \(P/|k|\);
- se due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) sono periodiche di periodi diversi \(P\) e \(Q\), le funzioni \(f(x)+g(x)\), \(f(x)\cdot g(x)\) e \(f(x)/g(x)\) sono periodiche di periodo \(R=mP=nQ\) se e solo se \(P/Q=n/m\), con \(n\) ed \(m\) interi positivi primi fra loro; in altri termini, tali funzioni sono periodiche se e solo se i periodi \(P\) e \(Q\) sono commensurabili, cioè hanno un rapporto razionale, diverso da \(1\): il periodo \(R\) delle funzioni somma, prodotto, quoziente è il “minimo comune multiplo” dei periodi \(P\) e \(Q\);
- nel caso \(f(x)\) e \(g(x)\) abbiano periodi uguali \(P\)=\(Q\), il periodo \(R\) delle funzioni somma, prodotto, quoziente è minore o uguale al periodo comune.
Il tuo esempio cade appunto nell’ultimo caso, che non ammette una regola generale: nel 
caso di funzioni goniometriche, si può cercare di mettere in luce la periodicità utilizzando formule goniometriche e/o altre equivalenze. In particolare, raccogliendo a fattor comune \(\cos x\) nel denominatore, la funzione in questione, almeno per \(x\ne \pi /2+k\pi\) (caso in cui la funzione è comunque definita e vale \(1\)), si può riscrivere in questo modo: \[y=\sqrt{\frac{\sin x}{\sin x-\cos x}}=\sqrt{\frac{\tan x}{\tan x-1}}\] il che evidenzia una periodicità, \(T=\pi\), inferiore alla periodicità comune ai due termini della frazione, cioè \(2\pi\).
Massimo Bergamini