Ricevo da Paolo la seguente domanda:
Gentile Professore,
la contatto per chiederLe di aiutarmi a risolvere questo esercizio (pag.755, n.499 Matematica.blu 2.0):
Rappresenta graficamente la funzione di equazione \(y=\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x-4\) e indica il suo periodo. Scrivi l’espressione della funzione nella forma: \(y=A\cdot \sin \left( x+k \right)\cos \left( x+k \right)-4\). Rappresenta la curva simmetrica di quella data, rispetto all’asse delle ascisse.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Paolo,
utilizzando la tecnica dell’angolo aggiunto possiamo scrivere:
\[y=\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x-4=2\left( \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x \right)-4=\]\[=2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)-4\] e raccogliendo il 2 all’interno dell’argomento: \[y=2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)-4=2\sin \left( 2\left( x+\frac{\pi }{6} \right) \right)-4=\]\[=4\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)-4\quad .\] Il periodo della funzione è \(\pi\) e la curva simmetrica è il grafico della funzione \(y=-2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)+4\).
Massimo Bergamini