Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
ho difficoltà con i criteri di congruenza dei triangoli, potrebbe aiutarmi per favore? (pag. G70, nn. 13,14, Matematica multimediale.blu, vol.1)
1) Prolunga i lati obliqui \(AC\) e \(CB\) del triangolo isoscele \(ABC\), oltre la base \(AB\), di due segmenti congruenti \(AP\) e \(BQ\).
a. Detto \(M\) il punto medio della base \(AB\), dimostra che i triangoli \(CMP\) e \(CMQ\) sono congruenti.
b. Dimostra che il prolungamento di \(CM\) interseca \(PQ\) nel suo punto medio.
2) Nel triangolo isoscele \(ABC\) di base \(BC\), indica con \(M\) il punto medio di \(BC\).
a. Se \(P\) è un punto interno al triangolo tale che \(PB\cong PC\), dimostra che \(A\), \(P\) e \(M\) sono allineati.
b. Preso poi un punto esterno \(O\) tale che \(BO\cong OC\), dimostra che \(A\), \(M\) e \(O\) sono allineati.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso:
a. \(CM\), in quanto mediana relativa alla base \(AB\) del triangolo isoscele \(ABC\) è anche bisettrice dell’angolo al vertice, per cui i triangoli \(CMP\) e \(CMQ\) sono congruenti per il 1° criterio: \(CP\cong CQ\) in quanto somma di segmenti congruenti, \(CM\) in comune, \(P\hat{C}M\cong Q\hat{C}M\), essendo \(CM\) bisettrice.
b. Poichè il triangolo \(PCQ\) è a sua volta isoscele di base \(PQ\) per costruzione, il prolungamento di \(CM\) è bisettrice dell’angolo al vertice \(P\hat{C}Q\), per cui è anche mediana della base \(PQ\), cioè incontra \(PQ\) nel punto medio \(N\), come dovevasi dimostrare.
Nel secondo caso:
a. La mediana \(AM\) relativa alla base \(BC\) del triangolo isoscele \(ABC\) è anche asse del segmento \(BC\), cioè è il luogo di tutti e soli i punti del piano equidistanti da \(B\) e \(C\), quindi, se \(PB\cong PC\), necessariamente \(P\) appartiene all’asse di \(BC\), ed in particolare, essendo per ipotesi interno al triangolo, al segmento \(AM\) di tale asse, cioè è allineato con \(A\) e \(M\).
b. Per il punto \(O\) valgono le stesse considerazioni fatte per \(P\), con la sola differenza che \(O\) è esterno al triangolo, quindi non appartiene ad \(AM\) ma comunque appartiene all’asse di \(BC\), cioè alla retta \(AM\), quindi è anch’esso allineato ad \(A\) e \(M\).
Massimo Bergamini