Ricevo da Ettore la seguente domanda:
Caro professore,
un aiuto:
1) Data la retta \(r:(x,y,z)=(1,0,-2)k+(2,3,5)\), determinare la retta \(s\) passante per il punto \(P(1,0,1)\) tale che \(r\) ed \(s\) siano sghembe.
2) Dopo aver tracciato il grafico della funzione
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x^2-2x\quad 0\le x\le 2 \\ \frac{5\left( x-3 \right)}{\left| 3-x \right|}\quad 2<x\le 4,\;x\ne 3 \\ 10\quad\quad x=3 \end{array} \right.\]
dedurre da esso, se esistono, massimi e minimi relativi/assoluti nell’intervallo \(0\le x\le 4\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ettore,
nel primo caso, qualunque retta \(s\) non appartenente al piano \(\alpha\) individuato da \(r\) e dal punto \(P\) è sghemba rispetto ad \(r\). Per individuare l’equazione di \(\alpha\) possiamo determinare un vettore che sia ad esso perpendicolare operando il prodotto vettoriale tra due vettori non paralleli che giacciono nel piano: uno può essere il vettore direttivo di \(r\), cioè \(\vec{a}=\left( 1,0,-2 \right)\), l’altro può essere il vettore che congiunge \(P\) ad un punto di \(r\), ad esempio \(\vec{b}=\left( \frac{12}{5},3,\frac{6}{5} \right)\) che è anche perpendicolare ad \(\vec{a}\); pertanto: \[\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}=\left( 6,-6,3 \right)\] è il vettore direttivo del piano \(\alpha\), e anche di una retta che sia ad esso perpendicolare, e quindi la retta \(s\) avente tale vettore direttivo e passante per \(P\), cioè \(s:(x,y,z)=(6,-6,3)k+(1,0,1)\), è sicuramente sghemba rispetto a \(r\).
Nel secondo caso, dal grafico di \(f(x)\) possiamo dedurre che la funzione ha un punto di minimo relativo in \(x=1/2\) e punti di massimo relativo in \(x=0\), \(x=2\) e \(x=3\): i punti degli intervalli \(\left] 2,3 \right[\) e \(\left] 3,4 \right]\), in cui la funzione è costante, possono essere classificati sia come punti di minimo relativo che come punti di massimo relativo. In tutti i punti dell’intervallo \(\left] 2,3 \right[\) la funzione assume il suo valore minimo assoluto, mentre il massimo assoluto si verifica solo in corrispondenza a \(x=3\).
Massimo Bergamini