Ricevo da Domenica la seguente domanda:
Gentile professore
ho questo quesito:
Determina tutti i punti aventi coordinate intere positive che appartengono all’iperbole \(x^2-y^2=275\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Domenica,
poiché \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\) e \(275=5\cdot 5\cdot 11\), si tratta di trovare tutte le coppie \((x,y)\) di interi positivi tali che \(x+y=a\) e \(x-y=b\), essendo \(a\) e \(b\) divisori di \(275\), cioè \(a\cdot b=275\). Poiché
\[x=\frac{a+b}{2}\quad y=\frac{a-b}{2}\to a>b\]
le uniche coppie possibili di divisori \((a,b)\) con \(a>b\) sono: \((275,1)\), \((55,5)\), \((25,11)\), a cui corrispondono le coppie di soluzioni: \((138,137)\), \((30,25)\), \((18,7)\).
Massimo Bergamini