Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore,
un altro quesito che non ho saputo risolvere:
Data la circonfereza di raggio \(r\) riferita a un sistema di assi cartesiani in modo che il cerchio abbia il cento in \((r;0)\), determinare sull’asse \(x\) un punto \(P\) e sull’asse delle \(y\) un punto \(Q\) in modo che la retta \(PQ\) incontri la circonferenza in \(M\) e in \(N\) e si abbia \(PN=MN=MQ\). Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse delle \(x\) del triangolo mistilineo \(OMQ\) limitato dall’arco di circonferenza \(OM\) e dai segmenti rettilinei \(OQ\) e \(MQ\). Trovare inoltre il rapporto tra il volume della sfera generata dalla rotazione del cerchio assegnato e quello del solido iniziale.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimen
to alla figura, osserviamo che, detta \(c\) l’ascissa di \(M\), si deve avere che la sua ordinata sia \(\sqrt{2rc-{{c}^{2}}}\); inoltre, perché siano soddisfatte le ipotesi, il punto \(N\) deve avere coordinate \(\left( 2c,\frac{1}{2}\sqrt{2rc-{{c}^{2}}} \right)\), e affinchè \(N\) appartenga alla circonferenza, che ha equazione \(x^2-2rx+y^2=0\), si deve avere: \[4{{c}^{2}}-4rc+\frac{1}{4}\left( 2rc-{{c}^{2}} \right)=0\to c=\frac{14}{15}r\quad .\]
Pertanto, si ha: \[M\left( \frac{14}{15}r,\frac{4\sqrt{14}}{15}r \right)\to Q\left( 0,\frac{2\sqrt{14}}{5}r \right),\ P\left( \frac{14}{5}r,0 \right)\] e il solido in questione ha un volume \(V\) che si può ottenere sottraendo il volume del segmento sferico di altezza \(OH\) e raggio di base \(MH\) al tronco di cono avente la stessa altezza e per raggi di base \(OQ\) e \(MH\): \[V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{3}}\frac{14}{15}\left( \frac{56}{25}+\frac{224}{225}+\frac{112}{75} \right)-\frac{7}{15}\pi {{r}^{3}}\left( \frac{224}{3375}+\frac{196}{675} \right)=\frac{196}{225}\pi {{r}^{3}}\] e infine, dividendo per il volume della sfera di raggio \(r\), si ha il rapporto richiesto: \[\frac{V}{{{V}_{sf}}}=\frac{49}{75}\quad .\]
Massimo Bergamini