Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
ho difficoltà con alcuni problemi, potrebbe darmi un aiutino? (pag. 1536, nn. 548, 549, 550, 557, pag. 1537, n. 567 Matematica.blu 2.0).
1) Quali valori devono a i parametri \(a\) e \(b\) affinché sia \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4x+a}{\left( a+b \right)x+b{{x}^{2}}}=-2\)?
2) Determina \(a\) e \(b\) tali che la funzione \(f\left( x \right)={{2}^{\frac{ax}{x+2b}}}\) abbia \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{1}{2}\) e \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\).
3) Trova per quale valore di \(k\) si ha \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+kx \right)}{8x}=+3\).
4) Verifica che la funzione \(f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-x}}+2{{e}^{x}}}{{{e}^{-x}}+3{{e}^{x}}}\) ha come asintoto orizzontale la retta \(y=\frac{2}{3}\). Esistono altri asintoti per \(f(x)\)?
5) Considera la semicirconferenza di centro \(O\) e diametro \(\overline{AB}=2r\), traccia la semiretta \(t\) tangente in \(A\) e la semiretta \(s\) di origine \(O\) che interseca la semicirconferenza in \(P\) e la semiretta \(t\) in \(Q\). Calcola \(\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{PQ}+\overline{AQ}}{\overline{PA}}\).
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso si può avere un limite finito solo se numeratore e denominatore hanno pari grado, perciò \(b=0\), e quindi: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4x+a}{ax}=\frac{4}{a}=-2\leftrightarrow a=-2\quad .\]
Nel secondo caso, si ha: \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{2}^{\frac{ax}{x+2b}}}={{2}^{a}}=\frac{1}{2}\leftrightarrow a=-1\quad \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{2}^{-\frac{x}{x+2b}}}={{2}^{-\frac{1}{1+2b}}}=0\leftrightarrow \frac{-1}{1+2b}=-\infty \to 1+2b={{0}^{+}}\to b=-\frac{1}{2}\quad .\]
Nel terzo caso, si ha: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+kx \right)}{8x}=\frac{k}{8}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+kx \right)}{kx}=\frac{k}{8}=3\leftrightarrow k=24\quad .\]
Nel quarto caso, si ha: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-x}}+2{{e}^{x}}}{{{e}^{-x}}+3{{e}^{x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( 1+{{e}^{-2x}} \right)}{3\left( 1+{{e}^{-2x}} \right)}=\frac{2}{3}\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-x}}+2{{e}^{x}}}{{{e}^{-x}}+3{{e}^{x}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+2{{e}^{2x}}}{1+3{{e}^{2x}}}=1\] per cui si verifica che la funzione ammette due asintoti orizzontali distinti: \(y=\frac{2}{3}\) e \(y=1\).
Nell’ultimo caso, posto \(x=A\hat{O}P\), con \(0\le x <\pi/2\), si ha: \[\overline{PA}=2r\sin \frac{x}{2},\overline{PQ}=\frac{r}{\cos x}-r=r\frac{1-\cos x}{\cos x},\overline{AQ}=r\tan x=r\frac{\sin x}{\cos x}\] per cui: \[\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{PQ}+\overline{AQ}}{\overline{PA}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x+\sin x}{2\sin \frac{x}{2}}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{2\sin \frac{x}{2}}+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\sin x}{2x\sin \frac{x}{2}}=0+1=1\quad .\]
Massimo Bergamini