Ricevo da Andrea la seguente domanda:
Buon giorno Professore,
potrebbe spiegarmi come risolvere i seguenti esercizi? (pag.1990, nn. 492, 494, Matematica.blu 2.0)
Calcola i seguenti integrali:
\[\int{\ln \left( x-1 \right)dx}\quad \quad \int{\frac{3{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{3}}+4}}dx}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Andrea,
nel primo caso procediamo con un’integrazione per parti, assumendo l’unità come fattore differenziale: \[\int{\ln \left( x-1 \right)dx}=x\ln \left( x-1 \right)-\int{\frac{x}{x-1}dx}=x\ln \left( x-1 \right)-\int{dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}=\]\[=x\ln \left( x-1 \right)-x-\ln \left( x-1 \right)+c=\left( x-1 \right)\ln \left( x-1 \right)-x+c\quad .\]
Nel secondo caso osserviamo che la funzione integranda è la derivata di una funzione composta, precisamente:
\[\frac{3{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{3}}+4}}=D\left( 2\sqrt{{{x}^{3}}+4} \right)\] per cui: \[\int{\frac{3{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{3}}+4}}dx}=2\sqrt{{{x}^{3}}+4}+c\quad .\]
Massimo Bergamini