Ricevo da Sarah la seguente domanda:
Buongiorno,
mi è stato assegnato questo esercizio, ma non lo so risolvere.
Data la parabola di equazione \(y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}\) e la retta \(y=x\), indica con \(A\) e \(O\) i loro punti di intersezione. Preso un punto \(P\) sul segmento \(OA\), conduci per \(P\) la parallela all’asse \(x\), indicando con \(Q\) il punto di ascissa positiva in cui tale parallela incontra la parabola, e la parallela all’asse \(y\), indicando con \(R\) il punto in cui tale parallela incontra la curva. Determinare \(P\) tale che sia massima la somma delle aree dei triangoli \(POR\) e \(POQ\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Sarah,
con riferimento alla figura, dopo aver determinato \(A(4,4)\) e \(O(0,0)\), indichiamo con \((t,t)\), \(0\le t \le 4\), le coordinate del generico punto \(P\) sul segmento \(OA\). Si osserva che: \[Q\left( 2\sqrt{t},t \right)\quad \quad R\left( t,\frac{1}{4}{{t}^{2}} \right)\] per cui \[\overline{PQ}=2\sqrt{t}-t\quad \quad \overline{PR}=t-\frac{1}{4}{{t}^{2}}\] dove si è potuto evitare di utilizzare valori assoluti poiché nell’intervallo considerato per la variabile \(t\) la relazione d’ordine tra le coordinate dei punti è tale che le precedenti espressioni delle lunghezze dei segmenti sono definite positive. Per il calcolo delle aree dei triangoli \(POR\) e \(POQ\) basta osservare che, preso \(PQ\) come base, l’ordinata \(t\) di \(P\) è l’altezza relativa nel triangolo \(POQ\), e similmente, preso \(PR\) come base, l’ascissa \(t\) di \(P\) è l’altezza relativa nel triangolo \(POR\), per cui: \[{{S}_{POR}}=\frac{1}{2}t\left( t-\frac{1}{4}{{t}^{2}} \right)\quad \quad {{S}_{POQ}}=\frac{1}{2}t\left( 2\sqrt{t}-t \right)\] e quindi la funzione da massimizzare è la seguente: \[S\left( t \right)={{S}_{POR}}+{{S}_{POQ}}={{t}^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{8}{{t}^{3}}\quad .\]
Deriviamo \(S(t)\) e analizziamone segno e zeri: \[S’\left( t \right)=\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{8}{{t}^{2}}\to S’\left( t \right)=0\leftrightarrow t=0\vee t=2\sqrt[3]{2}\] e poiché \(S’\left( t \right)>0\) per \(0<t<2\sqrt[3]{2}\), \(S’\left( t \right)<0\) per \(2\sqrt[3]{2}<t<4\), si ha che in corrispondenza a \(t=2\sqrt[3]{2}\) si verifica il massimo cercato, definito dal punto \(P\left( 2\sqrt[3]{2},2\sqrt[3]{2} \right)\).
Massimo Bergamini