Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
le vorrei chiedere un aiuto su alcuni problemi (pag.1697, nn.689, 691, 692, Matematica.blu 2.0).
1) Scrivi l’equazione della retta tangente alla curva di equazione \(y=\frac{x-1}{x-4}\) nel suo punto di ascissa \(3\) e determina gli altri eventuali punti in cui la tangente è parallela alla precedente.
2) Dimostra che \(x=0\) è un punto angoloso per la funzione \(y=\left| \frac{x}{x+2} \right|\) e determina l’angolo formato dalle due tangenti.
3) Calcola l’area del triangolo definito dall’asse \(x\) e dalle due tangenti alla curva \(y=\ln \sqrt{2{{x}^{2}}-1}\) nei suoi punti di intersezione con l’asse \(x\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso, si tratta di determinare la funzione derivata, \(y’=-\frac{3}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}}\), ricavare \(y’\left( 3 \right)=-3\) e \(y\left( 3 \right)=-2\), e dedurre l’equazione della retta tangente: \[y=-3\left( x-3 \right)-2=-3x+7\quad .\] Quindi, posto \(y’\left( x \right)=-3\), si ricava \({{\left( x-4 \right)}^{2}}=1\to x=3\vee x=5\), da cui il secondo punto richiesto: \(\left( 5;4 \right)\).
Nel secondo caso, poiché la funzione e la sua derivata possono essere così riscritte:
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x}{x+2}\quad x\le -2\vee x\ge 0 \\ -\frac{x}{x+2}\quad -2<x<0 \end{array} \right.\]
\[f’(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2}{(x+2)^2}\quad x< -2\vee x> 0 \\ -\frac{2}{(x+2)^2}\quad -2<x<0 \end{array} \right.\]
e poiché si può dimostrare che qualora esistano, finiti o infiniti, i limiti destro e/o sinistro della funzione derivata questi coincidono con i limiti destro e/o sinistro del rapporto incrementale, si ha per \(x=0\): \[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f’\left( x \right)=-\frac{1}{2}\ne \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f’\left( x \right)=+\frac{1}{2}\] per cui \(x=0\) è un punto angoloso, e l’angolo \(\alpha\) fra le due semi-rette tangenti è tale che \(\tan \alpha =\pi -\arctan \left| \frac{1}{1-1/4} \right|\approx 126,87{}^\circ\).
Nell’ultimo caso, essendo \(y’=\frac{2x}{2{{x}^{2}}-1}\), e poiché le intersezioni della curva con l’asse \(x\) avvengono nei punti di ascissa \(x=\pm 1\), si hanno le rette tangenti: \[y=2x-2\quad y=-2x-2\] che si intersecano nel punto \((0;-2)\), per cui il triangolo da esse definito insieme all’asse \(x\) ha area \(2\).
Massimo Bergamini