Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gentile professore,
mi aiuta per favore a risolvere questo esercizio (n.72, pag.23, Verso la seconda prova di matematica 2016)?
La rapidità di afflusso/deflusso dei visitatori di un padiglione espositivo nel corso di una data ora è espresso dalla legge \[f\left( t \right)=n’\left( t \right)\ ,\] dove \(n\left( t \right)\) è il numero di persone presenti nel padiglione all’istante \(t\). Il grafico di \(f(t)\) è rappresentato in figura.
a. In quali momenti si ha, rispettivamente, un massimo relativo e un minimo relativo del numero di persone presenti nel padiglione?
b. Se inizialmente (\(t=0\)) erano presenti \(100\) visitatori nel padiglione, quante sono le persone presenti dopo \(15\) minuti, dopo \(40\) minuti e dopo un’ora?
c. Traccia un grafico plausibile della funzione \(n\left( t \right)\) e stabilisci se i massimi e i minimi relativi individuati al punto a sono anche massimi e minimi assoluti.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Paola,
poiché in corrispondenza a \(t=15\,m\) la derivata della funzione \(n\left( t \right)\) si annulla, essendo immediatamente prima positiva poi negativa, in tale istante si realizza un massimo relativo per la funzione stessa; in corrispondenza a \(t=45\,m\), invece, la derivata della funzione \(n\left( t \right)\) si annulla, essendo immediatamente prima negativa poi positiva, per cui in tale istante si realizza un minimo relativo. Il numero di persone presenti nel padiglione ad un dato istante \(t\) è dato da: \[n\left( t \right)=n\left( 0 \right)+\int\limits_{0}^{t}{n’\left( s \right)}\,ds=100+\int\limits_{0}^{t}{f\left( s \right)}\,ds\] per cui, da un calcolo diretto delle aree delle varie porzioni di sottografico di \(f\left( t \right)\): \[n\left( 15 \right)=100+\int\limits_{0}^{15}{f\left( s \right)}\,ds=145\quad n\left( 40 \right)=145-80=65\quad \left( 60 \right)=65+60=125\quad .\]
Utilizzando i valori calcolati e l’andamento della derivata, si ha per \(n\left( t \right)\) la seguente rappresentazione grafica
, da cui si evince che il massimo relativo \((15;145)\) è anche massimo assoluto per \(n\left( t \right)\) (la funzione risale solo fino a \(n\left( 60 \right)=125<145\)), e che il minimo relativo \((45;55)\) è anche minimo assoluto.
Massimo Bergamini