Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
non riesco a capire come impostare e risolvere questo problema, mi potrebbe aiutare? (pag.1754, n.214, Matematica blu2.0, vol.V).
Data la funzione \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} k e^{x-1}\quad\quad x<1 \\ k(x^2-x)+k \quad x\ge 1 \end{array} \right.\]
a) dimostra che \(f(x)\) è continua e derivabile \(\forall x\in \mathbb{R}\);
b) trova il valore di \(k\) in modo che la tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa \(1\) abbia coefficiente angolare uguale a \(-1\) e rappresenta graficamente \(f(x)\);
c) applica il teorema di Lagrange agli intervalli \(\left[ 1;4 \right]\) e \(\left[ 0;2 \right]\) nelle ipotesi del punto b).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
l’unico valore di \(x\) in cui la funzione \(f(x)\) può presentare problemi di continuità e derivabilità è \(x=1\), ma poiché:
\[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,k{{e}^{x-1}}=k=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,k\left( {{x}^{2}}-x \right)+k\]\[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,k{{e}^{x-1}}=k=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,k\left( 2x-1 \right)\] la funzione
è continua e derivabile anche in \(x=1\) per qualunque valore di \(k\). Poiché \(f’(1)=k\), posto \(k=-1\) risulta soddisfatta la condizione del punto b), e si ha: \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -e^{x-1}\quad\quad x<1 \\ -x^2+x-1 \quad x\ge 1 \end{array} \right.\] funzione che risulta sempre negativa, monotona decrescente, con limiti \(0\) a \(-\infty\) e \(-\infty\) a \(+\infty\).
Negli intervalli richiesti, il valore di \(\left( f\left( b \right)-f\left( a \right) \right)/\left( b-a \right)\) è, rispettivamente, \(-4\) e \(\frac{1-3e}{2e}\): uguagliando il primo all’espressione della derivata per \(x>1\), cioè \(-2x+1\), si ha il valore \({{x}_{1}}=\frac{5}{2}\) che verifica la tesi del teorema di Lagrange, uguagliando il seondo prima all’espressione \(-2x+1\), poi all’espressione \(-{{e}^{x-1}}\) (dal momento che \(1\) è interno all’intervallo), si ha \({{x}_{2}}=\frac{5e-1}{4e}>1\), accettabile, e \({{x}_{3}}=\ln \frac{3e-1}{2}>1\), non accettabile in quanto sottoposta alla condizione \(x>1\).
Massimo Bergamini