Ricevo da Sara la seguente domanda:
Caro professore,
il problema è il seguente:
Un quadrato di vertici \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) e lato \(l\) è inscritto nella base di un cono. Detto \(V\) il vertice del cono, si consideri la piramide di base \(ABCD\) e vertice \(V\). Posta \(\alpha\) la misura del diedro formato dalla faccia \(ABCD\) e dalle facce laterali della piramide, ad esempio \(AVB\):
a) esprimere in funzione di \(l\) e \(\alpha\) il volume del cono;
b) dimostrare che la misura \(\beta\) degli angoli al vertice delle facce laterali della piramide, cioè ad esempio l’angolo \(A\hat{V}B\), può essere espressa mediante la relazione: \(\cos \beta =\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{1+{{\cos }^{2}}\alpha }\);
c) determinare quindi il volume del cono tale che \(\beta=\pi/3\);
d) considerata quindi la piramide con \(\beta=\pi/3\), si consideri una sua generica sezione \(A’B’C’D’\) ottenuta con un piano parallelo al quadrato di base; si determini quindi la distanza \(x\) di tale piano dal vertice \(V\) in modo che la piramide di base \(A’B’C’D’\) e vertice \(V\) sia equivalente al tronco di piramide di basi \(ABCD\) e \(A’B’C’D’\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Sara,
con riferimento alla figura, consideriamo la sezione normale del diedro \(\alpha\) formata dal triangolo rettangolo \(OMV\), per cui: \[\overline{VM}=\frac{l}{2\cos \alpha }\quad \overline{VO}=\frac{l}{2}\tan \alpha \] \[OA=\frac{\sqrt{2}}{2}l\to {{V}_{C}}\left( l,\alpha \right)=\frac{\pi }{12}{{l}^{3}}\tan \alpha \quad .\] Una faccia laterale, ad esempio \(BCV\), è un triangolo isoscele con altezza \(l/\cos \alpha\) e base \(l\), per cui: \[\tan \frac{\beta }{2}=\frac{l}{2}\frac{2\cos \alpha }{l}=\cos \alpha \to \cos \beta =\frac{1-{{\tan }^{2}}\frac{\beta }{2}}{1+{{\tan }^{2}}\frac{\beta }{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{1+{{\cos }^{2}}\alpha }\quad .\] Nel caso che sia \(beta=\pi/3\), si ha: \[\frac{1}{2}=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{1+{{\cos }^{2}}\alpha }\to {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{3}\to 1+{{\tan }^{2}}\alpha =3\to \tan \alpha =\sqrt{2}\] per cui \({{V}_{C}}=\frac{\pi \sqrt{2}}{12}{{l}^{3}}\). Infine, poiché: \[{{S}_{{A}'{B}'{C}'{D}’}}:{{S}_{ABCD}}={{x}^{2}}:V{{O}^{2}}\to {{V}_{P}}\left( x \right)=\frac{2}{3}{{l}^{2}}\frac{{{x}^{3}}}{{{l}^{2}}}=\frac{2}{3}{{x}^{3}}\] e affinchè si realizzi la richiesta del punto d) si deve avere: \[\frac{2}{3}{{x}^{3}}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{6}{{l}^{3}}\to x=\frac{\sqrt[6]{2}}{2}l\quad .\]
Massimo Bergamini