Incentro

Ricevo da Antonio la seguente domanda:
 
Salve professore,
ho questo problema:
Dati tre generici punti \(A(0,a)\), \(B(-b,0)\), \(C(c,0)\), trovare l’incentro del triangolo formato dai tre punti.
Potreste aiutarmi a risolverlo?
 
Gli rispondo così:
 
Caro Antonio,
posto che sia \(a > 0\) e \(-b\ne c\), per evitare casi di triangoli che degenerano in segmenti e limitarci ai triangoli appartenenti al semipiano delle ordinate positive (per ognuno di questi vi sarà il corrispondente simmetrico nel semipiano opposto), possiamo determinare l’incentro \(I\) come punto d’incontro di due delle bisettrici interne al triangolo, cioè ad esempio le bisettrici \(b_B\) ed \(b_C\) degli angoli convessi \(A\hat{B}C\) e \(B\hat{C}A\); per definizione, tali rette sono i luoghi dei punti equidistanti dalle rette \(AB\) e \(BC\), \(AC\) e \(BC\) rispettivamente, o meglio, ognuna di esse è quella delle due parti di ciascuno dei due luoghi suddetti che incontra il lato opposto del triangolo. Osserviamo che le equazioni in forma implicita delle rette \(AB\), \(BC\), \(AC\) possono essere date in termini di \(a\), \(b\) e \(c\) in questo modo:\[{{r}_{AB}}:ax-by+ab=0\quad {{r}_{BC}}:y=0\quad {{r}_{AC}}:ax+cy-ac=0\quad \] per cui i luoghi suddetti sono ricavabili dalle seguenti equazioni: \[{{b}_{B}}:\frac{\left| ax-by+ab \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\left| y \right|\quad {{b}_{C}}:\frac{\left| ax+cy-ac \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\left| y \right|\]cioè: \[{{b}_{B}}:ax-by+ab=\pm y\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\to {{b}_{B}}:y=\frac{ax+ab}{b+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]\[{{b}_{C}}:ax+cy-ac=\pm y\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}\to {{b}_{C}}:y=\frac{-ax+ac}{c+\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}\] dove la scelta dei segni è stata dettata dall’esigenza di avere nel caso di \(b_B\) una retta di pendenza necessariamente positiva, nel caso di \(b_C\) una retta di pendenza necessariamente negativa, stante l’ipotesi \(a>0\). Intersecando le due rette, cioè risolvendo il sistema delle loro equazioni, si ottiene: \[I={{b}_{B}}\cap {{b}_{C}}=\left( \frac{c\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-b\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}{b+c+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}};\frac{a\left( b+c \right)}{b+c+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}} \right)\quad .\]
Massimo Bergamini