Continuità

Ricevo da Nadia la seguente domanda:
 
Caro professore,
determinare per quale valore di \(a\) la funzione
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{x+2}\quad -2\le x\le 0 \\ x^2+2ax+a \quad x>0 \end{array} \right.\]
è continua in \(x=0\).
 
Grazie mille.
 
Le rispondo così:
 
Cara Nadia,
poiché
\[f\left( 0 \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+2ax+a \right)=a\]
\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x+2}=\sqrt{2}\]
Si tratta di porre \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)\to a=\sqrt{2}\), per cui la funzione seguente risulta continua in \(x=0\) come nel resto del suo dominio: \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{x+2}\quad -2\le x\le 0 \\ x^2+2\sqrt{2} x+\sqrt{2}\ \quad x>0 \end{array} \right.\]
Massimo Bergamini