Ricevo da Ettore la seguente domanda:
Caro professore,
forse non riesco a interpretare bene questi esercizi (Manuale blu 2.0 di matematica, pag. 906 n. 414, pag. 903, n.386):
1) Un osservatore è sulla riva di un lago in una postazione a 241 m di altezza dalla sua superficie. Dall’altra parte del lago vede la cima di una montagna in una direzione che forma, col piano orizzontale, un angolo \(\alpha =43{}^\circ 12′\) verso l’alto e la sua immagine riflessa sull’acqua sotto un angolo \(\beta =49{}^\circ 33′\) verso il basso. Quanto è alta la cima della montagna?
2) Il trapezio rettangolo \(ABCD\) con base maggiore \(AB\) è circoscritto a una semicirconferenza di diametro \(AD=4\).
a) Posto \(A\hat{B}C=x\), trova l’area \(S(x)\) del trapezio e calcola per quali valori di \(x\) si ha \(S(x)=16\sqrt{3}/3\).
b) Indica con \(P(x)\) il perimetro di \(ABCD\) e discuti l’equazione \(P(x)=4k\) al variare di \(k\) in \(\mathbb{R}\). Che figura si ottiene per \(k=3\)?
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ettore,
nel primo caso, con riferimento alla figura che schematizza il problema, detta \(h=CB=BC’\) l’altezza della montagna rispetto al livello del lago e \(d\) la distanza tra l’osservatore e la proiezione della cima della montagna sul piano del lago, possiamo affermare che: \[\frac{h-241}{d}=\tan \left( 43,2{}^\circ \right)\approx 0,93906\quad \frac{h+241}{d}=\tan \left( 49,55{}^\circ \right)\approx 1,17292\] per cui \[1,17292\left( h-241 \right)=0,93906\left( h+241 \right)\to h\approx 2176\ m\quad .\]
Nel secondo problema, date le congruenze delle due coppie di triangoli rettangoli che si vengono a formare, si ha:
\[AB=BE=\frac{2}{\tan \frac{x}{2}}\quad DC=CE=2\tan \frac{x}{2}\] per cui \[S\left( x \right)=2\left( AB+DC \right)=4\frac{1+{{\tan }^{2}}\frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}}=\frac{8}{\sin x}\] dove si è utilizzata la formula parametrica \(\sin x=2t/\left( 1+{{t}^{2}} \right)\), posto che sia \(t=\tan \left( x/2 \right)\). L’equazione che si ottiene dalla 
condizione \(S(x)=16\sqrt{3}/3\) è quindi \(\sin x=\sqrt{3}/2\), da cui \(x=\pi /3\) come sola soluzione compatibile con le limitazioni del problema. In modo analogo, si ricava che, sotto la limitazione \(0<x\le \pi /2\): \[P\left( x \right)=4+\frac{8}{\sin x}\Rightarrow P\left( x \right)=4k\leftrightarrow \sin x=\frac{2}{k-1}\] per cui il problema ammette una soluzione per ogni \(k\) tale che \(k-1>0\ \wedge \ 2/(k-1)\le 1\), cioè per \(k\ge 3\).
In particolare, per \(k=3\) si ha \(x=\pi/2\), cioè il trapezio diventa un rettangolo.
Massimo Bergamini