Problema trigonometrico

Ricevo da Jessica la seguente domanda:
 
Gentilissimo professore,
sto risolvendo il seguente problema (pag.892 n. 323, Matematica.blu, mod.Q):
Traccia la tangente \(t\) nel punto \(B\) alla semicirconferenza di diametro \(\overline{AB}=4\). Considera un punto \(P\) sulla semicirconferenza e indica con \(Q\) e \(r\) le sue proiezioni su \(AB\) e su \(T\); determina \(P\hat{A}B\) in modo che:\[2\sqrt{3}\overline{PQ}+\overline{PR}=5\overline{AQ}\quad .\]
Sono arrivata all’equazione ma ottengo un risultato diverso da quello indicato che non riesco a capire.  Inoltre non se se i limiti della \(x\) (0 e 90°?) sono inclusi oppure no.
Grazie per l’aiuto.
 
Le rispondo così:
 
Cara Jessica,
innanzitutto direi che non ci sono problemi ad includere i casi limite (\(P=A\to P\hat{A}B=\pi/2\) e \(P=B\to P\hat{A}B=0\)) nei valori eventualmente accettabili di \(x=P\hat{A}B\), in quanto non comportano problemi di esistenza nei termini dell’equazione richiesta; pertanto: \(0\le x\le \pi/2\). Inoltre, le note relazioni trigonometriche  e il fatto che \(B\hat{P}Q=P\hat{A}B=x\), comportano:\[PQ=AP\sin x=AB\cos x\sin x=4\cos x\sin x\]       \[PR=QB=PB\sin x=AP\sin x\sin x=4{{\sin }^{2}}x\]\[AQ=AP\cos x=AB\cos x\cos x=4{{\cos }^{2}}x\]per cui si ottiene l’equazione:\[8\sqrt{3}\sin x\cos x+4{{\sin }^{2}}x=20{{\cos }^{2}}x\to \sqrt{3}\sin 2x-3\cos 2x-2=0\]avendo utilizzato le identità:           \[2\sin x\cos x=\sin 2x,\ {{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2},\ {{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\quad .\]
Moltiplicando e dividendo i termini dell’equazione per \(2\sqrt{3}\) (tecnica dell’angolo aggiunto), si ricava: \[2\sqrt{3}\left( \frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x \right)=2\to \sin \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\]
Per cui la sola soluzione accettabile è data da \[2x-\frac{\pi }{3}=\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)\to x=\frac{\pi }{6}+\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)\quad .\]
Massimo Bergamini