Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
può per favore illustrarmi il metodo risolutivo per via elementare per la determinazione dei minimi richiesti in questi problemi?
1) Trovare due numeri positivi \(x\) e \(y\) tali che \(x^2y=108\) e la cui somma sia minima.
2) Trovare due numeri positivi tali che il loro prodotto sia 8 e che la somma di uno con il quadrato dell’altro sia minima.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
potremmo utilizzare in entrambi i casi questo teorema:
T.: se il prodotto di potenze con esponenti positivi di più variabili positive è costante, la somma di queste è minima quando le variabili sono proporzionali ai rispettivi esponenti, cioè, se \(x_{1}^{{{n}_{1}}}\cdot x_{2}^{{{n}_{2}}}\cdot \ldots \cdot x_{k}^{{{n}_{k}}}=\) costante, la somma \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{k}}\) è minima se \[\frac{{{x}_{1}}}{{{n}_{1}}}=\frac{{{x}_{2}}}{{{n}_{2}}}=\cdots =\frac{{{x}_{k}}}{{{n}_{k}}}\quad .\]
Possiamo dimostrare il teorema per \(k=2\) utilizzando le derivate. Infatti, ipotizzando \(x\) e \(y\) numeri positivi tali che \({{x}^{m}}\cdot {{y}^{n}}=c\), con \(m>0\), \(n>0\) e \(c\) costante assegnata, la funzione da minimizzare può essere scritta così:\[f\left( x \right)=x+{{c}^{1/n}}\cdot {{x}^{-m/n}}\] per cui: \[f'\left( x \right)=1-\frac{m{{c}^{1/n}}}{n}\cdot {{x}^{-\left( m+n \right)/n}}\quad \quad f''\left( x \right)=\frac{m\left( m+n \right){{c}^{1/n}}}{{{n}^{2}}}\cdot {{x}^{-\left( m+2n \right)/n}}\] da cui, sostituendo \({{c}^{1/n}}=y\cdot {{x}^{m/n}}\), si ottiene: \[f'\left( x \right)=1-\frac{m}{n}\cdot \frac{y}{x}\quad \quad f''\left( x \right)=\frac{m\left( m+n \right)}{{{n}^{2}}}\cdot \frac{y}{{{x}^{2}}}\]e pertanto si ha \[f'\left( x \right)=0\leftrightarrow \frac{y}{x}=\frac{n}{m}\to \frac{x}{m}=\frac{y}{n}\quad \quad f''\left( x \right)>0\quad \forall x,y,m,n>0\]
che equivale alla tesi.
Tornando ai due quesiti, possiamo dire nel primo caso che siamo nell’ipotesi del teorema con esponenti \(m=2\) e \(n=1\), per cui \(x\) e \(y\) sono tali da risolvere il seguente sistema: \[\left\{ \begin{array}{ll} x^2y=108 \\ \frac{x}{2}=y \end{array} \right.\]
cioè \(x=6\) e \(y=3\).
Nel secondo caso, detti \(x\) e \(y\) due numeri positivi tali che sia \(xy=8\), posto \(t=x^2\), si tratta di trovare due numeri positivi \(t\) e \(y\) tale che sia \({{t}^{1/2}}\cdot y=8\) e sia minima la somma \(t+y\), cioè siamo nelle ipotesi del teorema con esponenti \(m=1/2\) e \(n=1\), per cui \(t\) e \(y\) risolvono il sistema: \[\left\{ \begin{array}{ll} {t}^{1/2}\cdot y=8 \\ \frac{t}{1/2}=y \end{array} \right.\] da cui \(t=2\sqrt[3]{2}\) e \(y=4\sqrt[3]{2}\), cioè \[x=\sqrt{t}=\sqrt[3]{4}\quad y=4\sqrt[3]{2}\quad .\]
Massimo Bergamini
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Minimi
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