Ricevo da Asia il seguente quesito:
Peschiamo 5 carte da un mazzo di 52 carte, quale è la probabilità di pescarle tutte dello stesso seme?
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Un problema di carte
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Uno studio di funzione
Ricevo da Asia la richiesta di studiare la seguente funzione:
\[f\left( x \right)=\ln \left| \cos x \right|\quad .\]
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Un fascio di circonferenze
Ricevo da Samuele il seguente problema:
Scrivi l'equazione del fascio di circonferenze cui appartiene la circonferenza \(\Gamma :{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-16=0\) e che ha come punti base \(A(6; 4)\) e \(B(8;0)\) e determina le sue caratteristiche. Calcola inoltre le equazioni delle due circonferenze che staccano sull'asse delle ordinate un segmento di lunghezza 8.
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Un problema di massimo
Ricevo da Elisa il seguente problema:
Tra i solidi composti da un tetraedro sovrapposto a un prisma retto di ugual base triangolare in modo che la somma delle altezze dei due solidi sia costante e valga \(k\), determinare quello di volume massimo.
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Un problema trigonometrico di massimo
Ricevo da Ferdinando il seguente problema:
Sulla circonferenza di raggio \(r\) considera i punti \(A\), \(B\), \(P\) tali che l’angolo \(A\hat{P}B\) sia uguale a \(\frac{\pi }{3}\). Determina quale posizione di \(P\) rende la somma \(A{{P}^{2}}+P{{B}^{2}}\) massima.
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Ancora un problema di massimo
Ricevo da Jessica il seguente problema:
Sono date due semicirconferenze di raggio \(R\) e \(r\) (\(R\)>\(r\)) e di diametro rispettivamente \(AB\) e \(AC\), tangenti internamente in \(A\). Determinare un punto \(P\) sulla semicirconferenza maggiore in modo che, detto \(Q\) il punto ove la corda \(AP\) incontra la circonferenza minore, sia massimo il rettangolo di \(PB\) e \(PQ\).
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Cerchi tangenti
Ricevo da Elisa il seguente quesito:
Da un semicerchio di cartone di raggio \(10\;cm\) si ritaglia un cerchio di diametro massimo. Dai due tronconi rimasti si ritagliano due cerchi di diametro massimo. Qual è la percentuale di cartoncino sprecata?
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Una piramide di minima superficie
Ricevo da Elisa il seguente problema:
Dato un cono di vertice \(V\) avente altezza e raggio di base unitari, sia \(O\) il centro della circonferenza di base e \(AB\) una sua corda. Determinare la distanza \(x\) di \(AB\) da \(O\) in modo che la piramide \(OABV\) abbia superficie massima.
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Uno studio di funzione
Ricevo da Asia la seguente funzione da studiare:
\[f\left( x \right)=\ln \left| \arctan x \right|\quad .\]
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Una funzione e il teorema di Lagrange
Ricevo da Ferdinando il seguente problema:
Dopo aver tracciato il grafico della funzione \[f\left( x \right)=\sqrt{2-\left| x-2 \right|}\] verificare che non è applicabile il teorema di Rolle nell‘intervallo \(\left[ 0,4 \right]\). Quale delle ipotesi non è verificata? È applicabile il teorema di Lagrange nell’intervallo \(\left[ 2,4 \right]\)? In caso affermativo, determinare il punto in cui è verificata la tesi e illustrare il significato geometrico del risultato ottenuto.
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Due quesiti
Ricevo da Paolo i seguenti quesiti:
1) Quanti sono i numeri naturali \(m\) compresi tra \(1000\) e \(10000\) tali che \(m\) diviso \(7\) dà resto \(2\), diviso \(12\) dà resto \(5\), diviso \(20\) dà resto \(5\)?
2) Un battello percorre la distanza città-mare in \(5\;h\) alla massima velocità possibile. Al ritorno impiega, sempre con i motori al massimo \(7\;h\) per tornare in città. Quante ore impiegherebbe per andare dalla città al mare a motori spenti ?
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Una calotta e un cono
Ricevo da Elisa il seguente quesito:
Segare un emisfero di raggio \(r\) con un piano parallelo alla sua base in modo che l’area della calotta aumentata dell’area laterale del cono avente per base il cerchio sezione e per vertice il centro della sfera sia in rapporto \(k\) con l’area della base dell’emisfero.
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Un problema di geometria analitica
Ricevo da Samuele il seguente problema:
Dopo aver scritto l'equazione della circonferenza avente il centro \(C(x_C;-2)\) appartenente alla retta di equazione \(2x+y+4=0\) e tangente alla retta \(t:3x+4y-14=0\), determina:
a) il fascio di rette avente come sostegno il punto \(T\) di tangenza della circonferenza con la retta \(t\);
b) le rette del fascio che staccano sulla circonferenza una corda di lunghezza \(3\sqrt{10}\), e sia \(r\) quella avente coefficiente angolare maggiore;
c) un punto \(P\) in modo tale che il quadrilatero \(PTCR\) sia un rombo, con \(R\) ulteriore punto di intersezione della retta \(r\) con la circonferenza.
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Un triangolo isoscele di area massima
Ricevo da Ferdinando il seguente problema:
Tra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio \(r\), determina quello di area massima.
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Problemi sui massimi
Ricevo da Beatrice i seguenti quesiti:
1) È data la circonferenza \(x^2+y^2=1\). Determina su di essa un punto \(P\) in modo che sia massima la somma dei quadrati delle sue distanze dai punti \(A(2;0)\), \(B(0;2)\).
2) Data la parabola \(y=-x^2+4x\), inscrivi un rettangolo di area massima nella parte di piano delimitata dalla parabola e dall'asse \(x\).
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Un problema parametrico
Ricevo da Elisa il seguente problema:
Due circonferenze di raggio \(3r\) ed \(r\) e centro in \(O\) ed \(O’\) rispettivamente sono tangenti in \(A\) internamente. Tracciare da \(A\) una semiretta \(s\) che intersechi le due circonferenze e siano \(H\) e \(H'\) le proiezioni di \(O\) e di \(O’\) sulla semiretta \(s\). Determinare \(O’H’=x\) in modo che il perimetro del quadrilatero \(OHH'O'\) sia \(2kr\).
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Parabole e rettangoli di area massima
Ricevo da Andrea il seguente problema:
Tra tutte le parabole con asse parallelo all'asse \(y\), tangenti nell'origine \(O\) degli assi alla retta \(y=2x\), determinare quelle per le quali sia uguale a \(\frac{4}{3\sqrt{3}}\) l'area massima del rettangolo avente un lato sull'asse \(x\), inscritto nel segmento parabolico delimitato da ogni parabola e dall'asse \(x\).
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Due problemi geometrici
Ricevo da Elisa i seguenti quesiti:
1) Una piramide a base triangolare regolare è inscritta in una sfera il cui volume è \(2916\sqrt{3}\pi\). Sapendo che lo spigolo laterale è \(6\sqrt{3}\), determinare l’altezza della piramide, il volume e l’area della superficie laterale della piramide.
2) Nel triangolo isoscele \(ABC\) di incentro \(O\) l’angolo al vertice e di \(36^\circ\). Detto \(P\) il punto in cui la retta \(AO\) interseca \(BC\), dimostrare che il volume della sfera di diametro \(AB\) sta al volume della sfera di diametro \(BP\) come \(AC\) sta ad \(OP\).
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Due problemi di max/min
Ricevo da Mari i seguenti quesiti:
1) Una piramide a base rettangolare è inscritta in un cilindro che ha raggio di base \(r\) e altezza \(h\). Quali devono essere i lati del rettangolo di base affinché il volume della piramide sia massimo?
2) Determina la posizione di una corda \(AB\) di una circonferenza di diametro \(AC=2r\) affinché sia massima la superficie generata dalla rotazione completa della corda attorno ad \(AC\).
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Piramide e sfere
Ricevo da Elisa il seguente quesito:
Una piramide triangolare regolare ha l’altezza e l’apotema di 8 e di 10. Determinare l’area della superficie della sfera circoscritta ed il volume della sfera inscritta nella piramide data.
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