Ricevo da Jessica il seguente integrale indefinito: \[\int{\frac{2\arctan x+1}{1+{{x}^{2}}}dx\quad .}\]
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Un integrale indefinito
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Una piramide
Ricevo da Elisa il seguente quesito:
Una piramide ha per base un rettangoolo \(ABCD\) la cui diagonale \(AC\) è \(25\) e la distanza del vertice \(B\) da essa è \(12\). I lati maggiori sono \(AB\) e \(CD\). Sapendo che la proiezione ortogonale del vertice \(V\) della piramide sul piano di base è nel punto di intersezione delle diagonali di \(ABCD\) e che gli angoli \(AVB\) e \(DVC\) sono retti, trovare area laterale e volume della piramide e l’area della sezione ottenuta con un piano parallelo alla base e distante da essa i \(2/3\) dell’altezza della piramide.
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Un problema di geometria analitica
Ricevo da Jackelin il seguente problema:
In un riferimento cartesiano \(xOy\) si considerino i punti \(A(1;1)\) e \(B(-1;1)\). Indicate con \(r\) ed \(s\) rispettivamente le rette \(OA\) e \(OB\), scrivere l'equazione della circonferenza passante per \(A\) e per \(B\) e ivi tangente alle rette \(r\) ed \(s\). Scrivere poi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse \(y\) passante per \(A\) e per \(B\) e ivi tangente alle rette \(r\) ed \(s\). Considerato sull'arco di parabola situato nel 1° quadrante un punto \(P\) di ascissa \(k\),detti \(M\) la sua proiezione sull'asse \(x\) ed \(N\) il punto d'intersezione della parallela per \(P\) all'asse \(x\) con la tangente in \(B\) alla parabola, si determini la posizione del punto \(P\) affinchè la somma delle distanze \(PM\) e \(PN\) sia uguale a \(2+\sqrt{3}\).
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Un solido di rotazione
Ricevo da Elisa il seguente quesito:
Tra le parabole che hanno asse verticale e vertice \(V(0,1)\) determinare quella che ha tangenti nei punti \(A\) e \(B\) di ascissa \(1\) e \(-1\) tra loro perpendicolari. Tra le parabole determinate indicare con \(p\) quella concava verso l’alto, scrivere le equazioni delle tangenti a \(p\) in \(A\) e \(B\), determinare il loro punto di intersezione \(C\) e calcolare il volume del solido generato da una rotazione di \(180^\circ\) attorno all’asse di \(p\) del triangolo mistilineo \(ABC\).
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Un integrale definito
Ricevo da Maria Antonietta la seguente domanda:
Calcolare la misura dell'area della parte di piano \(A\) così definita:
\[A=\left\{ \left( x,y \right)|{{x}^{2}}-4x+3<0\wedge 0
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Un’omotetia nel piano
Ricevo da Nadia il seguente quesito:
La circonferenza di centro \(O\) è raggio \(1\) viene trasformata in una circonferenza che ha centro \(C( 4,3)\) e raggio \(3\). Trovare l’equazione dell’omotetia che trasforma la prima circonferenza nella seconda. Trovare l’equazione delle due circonferenze e verificare che l’omotetia trasforma la prima nella seconda.
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Una funzione omografica e un fascio di rette
Ricevo da Elisa il seguente problema:
In un piano riferito ad un sistema cartesiano ortogonale traccia la curva di equazione \(y=\frac{x-1}{x+1}\). Condotta poi per il punto \((-1,1)\) la retta di coefficiente angolare \(m\), si dica per quali valori di \(m\) una delle sue intersezioni con la curva appartiene al primo o al quarto quadrante o al terzo quadrante. Si determinino inoltre la lunghezza della corda minima intercettata sulla retta dalla curva e si dica qual è il rapporto maggiore di 1 fra le aree dei triangoli che le tangenti negli estremi di tale corda formano con gli assi coordinati.
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Parabole e integrali
Ricevo da Roberto il seguente problema:
Determina il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla retta di equazione \(y=\frac{3}{2}\), passanti per il punto \(A(0;4)\). Classifica tale luogo geometrico e calcola l’area della regione finita di piano compresa tra esso, l’asse \(x\) e le rette di equazione \(x=1\) e \(x=3\).
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Parabole, triangoli e integrali
Ricevo da Elisa il seguente problema:
Date le parabole \(\gamma\) e \(\gamma^\prime\) \(y=-x^2+2x+3\) e \(y=-x^2-4x+3\) passanti entrambe per \(A(0,3)\) e tangenti alla retta \(r\) di equazione \(4x+4y-21=0\), detti \(M\) ed \(N\) rispettivamente i punti di tangenza con \(r\), essendo \(M\) appartenente al primo quadrante, determinare la retta parallela a \(r\) che interseca gli archi \(AM\) e \(AN\) di \(\gamma\) e \(\gamma^\prime\) nei punti \(R\) e \(T\) in modo che sia massima l’area del triangolo \(MTR\). Calcolare l’area del triangolo mistilineo \(AMN\).
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Uno studio di funzione goniometrica
Ricevo da Elisa la seguente funzione da studiare:
\[y=\frac{\left| \sin x-1/2\right|}{{{\cos }^{2}}x-\sin x}\]
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Un problema di massimo trigonometrico
Ricevo da Nicolò il seguente problema:
Dato un settore circolare \(AOB\) di raggio \(r\) con angolo al vertice \(A\hat{O}B=\pi /4\), determinare sull’arco \(AB\) un punto \(M\) tale che dette \(P\) e \(Q\) le proiezioni di \(M\) su \(OB\) e \(OA\) risulti massimo il perimetro del triangolo \(PMQ\). Verificare poi che il triangolo \(PMQ\) di perimetro massimo è anche quello di area massima.
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Parabole e integrali definiti
Ricevo da Elisa il seguente problema:
In un sistema di assi cartesiani opportunamente scelto si consideri il quadrato di lato unitario con i lati paralleli alle bisettrici dei quadranti. Tra tutte le parabole passanti per due suoi vertici opposti si determinino le due parabole che dividono il quadrato in tre parti equivalenti.
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Un problema di massimo (senza derivate)
Ricevo da Samuele il seguente problema:
Considera l'equazione della parabola \(P\) con asse parallelo all'asse delle ordinate passante per \(A(-1;17)\) e tangente alle rette \(r:y=-12x+5\) e \(s:y=6x-4\). Scrivi l'equazione della parabola \(T\) simmetrica di \(P\) rispetto alla retta di equazione \(y=8\). Nella regione di piano delimitata dalle due parabole inscrivi il rettangolo di perimetro massimo.
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Solidi di rotazione
Ricevo da Elisa la il seguente quesito:
Calcolare il volume del solido ottenuto da una rotazione della regione piana limitata dalle curve di cui è assegnata l’equazione attorno alle rette indicate: \[y=x^2\quad\quad y=-x^2+4x\] asse di rotazione: a) asse \(x\); b) \(y=6\).
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Un problema di calcolo combinatorio
Ricevo da Nadia il seguente quesito:
Fra tutti i numeri che si possono formare con le cifre del numero 100.222, quanti sono i multipli di 10 e quelli di 100?
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Rotazione di settori circolari
Ricevo da Elisa il seguente problema:
I due settori circolari consecutivi \(AOB\), \(BOC\) del cerchio di centro \(O\) e raggio \(r\), hanno ciascuno l’angolo al centro di ampiezza \(\alpha\le 45{}^\circ\). Si determini l’angolo \(\alpha\) in modo che sia \(k\) il rapporto fra il maggiore e il minore dei due solidi generati dai due settori dati, in una rotazione completa attorno alla retta \(OA\). Si consideri il caso particolare \(k = 1 + \sqrt{2}\).
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Un integrale e un problema di minimo
Ricevo da Giovanni i seguenti quesiti:
1) Calcolare \[\int{{{\sin }^{2}}\left( 3x \right)}{{\cos }^{2}}\left( 3x \right)dx\]
2) Fra tutti i coni di volume \(V\), determinare quello di minimo apotema (non riesco a considerare come unica incognita l’apotema perché ho presente sia il raggio che l’altezza nella formula del volume).
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Rotazione di una regione piana
Ricevo da Mari il seguente problema:
Determina il valore del parametro \(k\) in modo che le funzioni di equazione \(xy=k\) e \(y=-x^2+kx+1\) si intersechino nel punto di ascissa \(4\). Calcola, inoltre, il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) della superficie limitata dai grafici delle due funzioni.
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Rotazione di un triangolo curvilineo
Ricevo da Jessica il seguente quesito:
Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse \(y\) del trapezoide individuato dalla porzione di parabola di equazione \(x=9-{{y}^{2}}\) contenuta nel semipiano positivo delle \(y\), dall’asse \(y\) e dalla retta di equazione \(y=\frac{3}{5}x-1\).
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Volumi e integrali
Ricevo da Mari il seguente problema:
Calcola il volume del solido che ha come base la regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione assegnata e dall’asse \(x\) nell’intervallo segnato a fianco e come sezioni perpendicolari all’asse \(x\) quelle indicate:
\[y=\sqrt{{{x}^{3}}-x}\ ,\quad \quad \left[ 1;4 \right];\quad \quad semicerchi\quad .\]
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