Ricevo da Beatrice il seguente quesito:
Calcola il seguente limite applicando, qualora sia possibile, il teorema di De l’Hospital: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{t\arctan 2tdt}}{{{x}^{4}}}\quad .\]
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Un limite e il teorema di de l’Hopital
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Un integrale improprio
Ricevo da Francesca il seguente integrale improprio:
\[\int\limits_{-1}^{+\infty }{\frac{1}{\left( x+2 \right)\sqrt{\left| x \right|}}}dx\quad .\]
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Una piramide per due problemi
Ricevo da Leonardo due problemi riguardanti piramidi aventi entrambe per base un triangolo rettangolo.
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Una famiglia di parabole
Ricevo da Elisa il seguente problema:
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali \(xOy\), siano date due parabole con gli assi perpendicolari all’asse delle \(x\), i cui vertici siano allineati con l’origine \(O\) e abbiano le ordinate rispettivamente eguali a \(1\) e \(3\). Si sa inoltre che le due curve hanno in comune il punto \(A(0;2)\). Assunto come parametro \(k\) l’ascissa del vertice di ordinata minore, si scrivano le equazioni delle due curve e si esprimano per mezzo di \(k\) le coordinate del loro secondo punto d’incontro; indi si determini l’area della regione limitata dalle due curve. Infine si trovino, tra le corde della regione considerata, che siano parallele all’asse delle \(y\):
(a) quella di lunghezza massima;
(b) quella che con il punto \(A\) individua il triangolo di area massima.
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Un solido di rotazione
Ricevo da Giovanni il seguente quesito:
Si calcoli il volume ottenuto dalla rotazione intorno all'asse \(y=1\) della superficie delimitata dalle rette di equazione \(x=-1\), \(x=1\), \(y=1\) e dalla curva di equazione \[y=\frac{x-1}{x-2}\]. Non riesco a capire come adattare la nota formula per il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione quando l'asse di rotazione è traslato come in questo caso.
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Un lancio di dadi
Ricevo da Leonardo il seguente quesito:
Vengono lanciati contemporaneamente sette dadi da gioco, con facce numerate da 1 a 6.
a) Qual è la probabilità di fare tutti i numeri uguali?
b) Qual è la probabilità di fare precisamente un 6?
c) Qual è la probabilità che escano tutti e sei i numeri?
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Tre solidi
Ricevo da Elisa i seguenti quesiti:
1) La base di un solido è l’area del primo quadrante limitata dalla retta \(4x+5y=20\) e dagli assi coordinati; calcolatene il volume se ogni sezione piana perpendicolare alla asse \(x\) è un semicerchio.
2) La base di un solido è il cerchio di equazione \(x^2+y^2=16x\) ed ogni sezione piana perpendicolare all’asse \(x\) è un rettangolo la cui altezza è il doppio della distanza del piano secante dall’origine; calcolatene il volume.
3) La sezione di un solido con un piano perpendicolare all’asse \(x\) è un cerchio con gli estremi di un diametro sulle parabole di equazione \(y^2=9x\) e \(x^2=9y\): calcolatene il volume.
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Un fascio di rette
Ricevo da Carlo il seguente problema:
a) Studia il fascio di rette di equazione \((2k+1)x + (k-1)y + 8k +7= 0\) e individua la retta \(r\) del fascio che non viene rappresentata da alcun valore del parametro reale \(k\).
b) Determina la retta \(s\) del fascio parallela alla retta di equazione \(5x+y=0\).
c) Trova le rette \(t_1\) e \(t_2\) del fascio che formano con gli assi cartesiani nel secondo quadrante un triangolo di area \(36\).
d) Stabilisci per quali valori del parametro \(k\) le rette del fascio dato intersecano il segmento di estremi \(A(-8;0)\) e \(B(-3;5)\).
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Continuità e derivabilità di una funzione
Ricevo da Ferdinando il seguente quesito:
Studiare la continuità e la derivabilità su \(\mathbb{R}\) al variare del parametro \(a\) della funzione:
\[ f\left( x \right)= \left\{ \begin{array}{ll} {e}^{\frac{a}{x}}\quad x<0 \\ x\sin\sqrt{x}\quad x\geq 0 \end{array} \right.\]
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Triangoli simili
Ricevo da Ivo il seguente problema:
Nel rettangolo \(ABCD\) il lato \(AB\) misura \(20a\) e la proiezione \(AH\) di \(AB\) sulla diagonale \(AC\) misura \(16a\). Preso su \(CD\) il punto \(M\) in modo che l'angolo \(A\hat{M}D\) sia congruente all'angolo \(A\hat{H}M\), determinare il perimetro e l'area del triangolo \(AMH\).
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Un ellissoide di rotazione
Calcolare il volume dell'ellissoide che si ottiene facendo ruotare di \(180^\circ\) l'ellisse di equazione \(x^2+4y^2-2x-3=0\) attorno all'asse maggiore.
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Dal volume del solido di rotazione alla funzione
Ricevo da Barbara il seguente quesito:
La rotazione completa attorno all'asse \(x\) del grafico di una funzione continua \(f(x)\), nell'intervallo \([0;a]\) genera un solido il cui volume misura \(a^2+a\). Determinare l'espressione di \(f(x)\).
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Una funzione integrale
Ricevo da Maria Antonella la seguente domanda:
Si consideri la funzione \(f(x)\) definita in questo modo: \[f\left( x \right)=\int\limits_{0}^{a}{{{e}^{-xt}}dt\quad .}\] Per quale valore di \(a\) diverso da zero, essa ha un estremo relativo in \(x=1\)?
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Una funzione logaritmica
Ricevo da Asia la seguente funzione da studiare:
\[f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-1\quad .\]
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Un quesito sul teorema di Lagrange
Ricevo da Barbara il seguente quesito:
Giustificare perché non possono esistere due funzioni che soddisfino queste condizioni:
caso 1) \(f(x)\) è definita e continua in \(\mathbb{R}\), derivabile due volte in \(\mathbb{R}\) e tale che \(f^\prime (0)=1\), \(f^\prime (3)=7\) e \(f''\left( x \right)<0\) per ogni \(x\) appartenente a \(\mathbb{R}\).
caso 2) \(f(x)\) è definita e continua in \(\mathbb{R}\), derivabile in \(\mathbb{R}\) e tale che \(f(3)= -1\), \(f(7)= -5\) e \(f'(x)>0\) per ogni \(x\) appartenente a \(\mathbb{R}\).
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Una retta tangente
Ricevo da Luca il seguente quesito:
Si conduca dall'origine la retta \(t\) tangente al grafico della funzione \[f\left( x \right)=\sqrt[3]{x-1}\quad .\]
Io so che \(t\) passa per \((0;0)\), ma come faccio a trovare la retta \(t\) tangente alla funzione?
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Integrali per sostituzione
Ricevo da Ferdinando i seguenti integrali indefiniti:
\[\int{\sqrt{8-{{x}^{2}}}dx\quad }\quad \int{\frac{1}{\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx\quad }\quad \int{\frac{2}{\sqrt{16{{x}^{2}}+9}}dx\quad }.\]
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Problemi di calcolo combinatorio vecchi e nuovi
Ricevo da Elisa i seguenti quesiti:
1) Calcola in quanti in quanti modi si possono sistemare otto oggetti distinti in sei scatole diverse sapendo che in ogni scatola deve esserci almeno un oggetto.
2) Calcola quante sigle di tre elementi si possono formare ponendo al primo posto una delle cinque vocali, al secondo posto una delle sedici consonanti e al terzo posto ancora una consonante non necessariamente diversa da quella precedentemente collocata al secondo posto.
3) Determina quanti sono nel gioco del poker (quattro segni, trentadue carte) i possibili gruppi di cinque carte che contengono tre assi.
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Una disequazione
Ricevo da Ilaria la seguente domanda:
Risolvere la disequazione:\[\int\limits_{0}^{x}{\frac{1-t}{1+{{t}^{2}}}dt\ge 0\quad .}\]
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Un luogo geometrico
Ricevo da Federica la seguente domanda:
È data la funzione \(y=m^2x^2-2mx-3m+2\) con \(m\neq 0\). Calcolare in funzione di \(m\) le coordinate del vertice e dedurre il luogo geometrico descritto dal vertice al variare di \(m\).
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