Disequazioni

Ricevo da Antonio la seguente domanda:
 
Salve professore,
ho delle difficoltà nel risolvere queste disequazioni:
\[\sqrt{2\pi -\arccos \left| \frac{x}{x-1} \right|}\cdot {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{4}^{\frac{x}{2}+1}}+4\cdot {{4}^{x}}+1 \right)\le 0\]
\[\sqrt{\pi -\arcsin \left| \frac{x}{x-1} \right|}\cdot {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{2}^{\frac{x}{2}+1}}-4\cdot {{2}^{x}}+1 \right)\le 0\]
 
Grazie.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Antonio,
in entrambi i casi, poichè \(0\le \arccos \le \pi\) e \(-\pi/2\le \arcsin \le \pi/2\), il fattore radice quadrata esiste ed è strettamente positivo se e solo se \(\left| \frac{x}{x-1} \right|\le 1\), cioè se  \(x\le \frac{1}{2}\), quindi si tratta porre la condizione di non positività del fattore logaritmico, cioè, nei due casi:\[{{4}^{\frac{x}{2}+1}}+4\cdot {{4}^{x}}+1\ge 1\to {{2}^{x}}\left( {{2}^{x}}+1 \right)\ge 0\to x\in \mathbb{R}\]\[{{2}^{\frac{x}{2}+1}}-4\cdot {{2}^{x}}+1\ge 1\to {{2}^{\frac{x}{2}}}\ge {{2}^{x+1}}\to x\le -2\] pertanto la prima disequazione è risolta per ogni \(x\le \frac{1}{2}\), la seconda per ogni \(x\le -2\).
 
Massimo Bergamini