Un torneo di calcetto

Ricevo da Silvia la seguente domanda:
 
Egregio professore,
io e i miei studenti non riusciamo a risolvere il seguente quesito di calcolo combinato (n.186, pag \(\alpha\)37, Matematica.blu2.0, vol4):
Si organizza un torneo di calcetto (\(5\) contro \(5\)) con undici giocatori. Due partite si dicono diverse tra loro se la composizione di almeno una delle due squadre è diversa. Quante partite diverse si possono fare?
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Silvia,
possiamo ragionare così: scelta come prima squadra una delle possibili cinquine che si possono formare con \(11\) giocatori distinti, la possiamo associare a ciascuna delle seconde squadre che si possono formare con i rimanenti \(6\) giocatori, ma il numero ottenuto va diviso per \(2\), dal momento che in tal modo avremmo contato due volte la stessa partita, poiché avremmo distinto i ruoli di prima squadra e seconda squadra, cosa che non ci interessa (a meno di non voler tener conto di un girone di ritorno..).; in definitiva il numero cercato è dato dal semiprodotto tra il numero di combinazioni semplici di \(11\) elementi presi \(5\) a \(5\) e il numero di combinazioni semplici di \(6\) elementi presi \(5\) a \(5\):\[\frac{1}{2}\cdot \frac{11!}{5!6!}\cdot \frac{6!}{5!}=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{2\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=1386\quad .\]
Massimo Bergamini