Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di farmi lo studio di queste funzioni:
\[{{f}_{1}}\left( x \right)=\arcsin \left( \ln \left( \frac{{{x}^{2}}-1}{x} \right) \right)\quad \quad {{f}_{2}}\left( x \right)={{x}^{2}}sin\left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\quad \quad {{f}_{2}}\left( x \right)=\arctan \left( \arcsin \left( \ln \left( x-1 \right) \right) \right)\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la prima funzione è definita e continua nell’insieme \({{D}_{{{f}_{1}}}}\), soluzione della disequazione\[-1\le \ln \left( \frac{{{x}^{2}}-1}{x} \right)\le 1\to \frac{1}{e}\le \frac{{{x}^{2}}-1}{x}\le e\to\frac{{{x}^{2}}-ex-1}{x}\le 0\quad \wedge \quad \frac{e{{x}^{2}}-x-e}{x}\ge 0\to\] \[\to \left\{ x\le \frac{e-\sqrt{{{e}^{2}}+4}}{2}\vee 0<x\le \frac{e+\sqrt{{{e}^{2}}+4}}{2} \right\}\cap \left\{ \frac{1-\sqrt{1+4{{e}^{2}}}}{2e}\le x<0\vee x\ge \frac{1+\sqrt{1+4{{e}^{2}}}}{2e} \right\}\to\]\[\to {{D}_{{{f}_{1}}}}=\left\{ \frac{1-\sqrt{1+4{{e}^{2}}}}{2e}\le x\le \frac{e-\sqrt{{{e}^{2}}+4}}{2}\vee \frac{1+\sqrt{1+4{{e}^{2}}}}{2e}\le x\le \frac{e+\sqrt{{{e}^{2}}+4}}{2} \right\}\quad .\]
Poiché la funzione è definita e continua nell’unione di due intervalli chiusi e limitati, in ciascuno di essi si applica il teorema di Weierstrass, che implica la limitatezza della funzione: in entrambi gli intervalli il minimo assoluto, \(-\pi/2\), è assunto nell’estremo sinistro, il massimo assoluto, \(\pi/2\), è assunto nell’estremo destro; non è quindi necessario effettuare limiti particolari. La funzione, in ciascuno degli intervalli, è monotona crescente, essendo la derivata prima
\[{{f}_{1}}'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x\left( x-1 \right)\sqrt{1-{{\ln }^{2}}\left( \left( {{x}^{2}}-1 \right)/x \right)}}\]sempre positiva nei punti interni di \({{D}_{{{f}_{1}}}}\), tendenzialmente infinita negli estremi degli intervalli che costituiscono il dominio, quindi la funzione si annulla una sola volta in ciascuno degli intervalli stessi, in corrispondenza ai valori \({{x}_{1}}=\left( 1-\sqrt{5} \right)/2\) e \({{x}_{2}}=\left( 1+\sqrt{5} \right)/2\). L’espressione della derivata seconda è “inaffrontabile” analiticamente: si può comunque inferire la necessità di un cambiamento di concavità, da giù a sù, e quindi di un punto di flesso, all’interno di ciascun intervallo del dominio.
La seconda funzione, definita, continua e derivabile in tutto \({{D}_{{{f}_{1}}}}=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), pari, nulla per \({{x}_{k}}=1/\sqrt{k\pi }\), \(k\in \mathbb{Z}-\left\{ 0 \right\}\), alternativamente positiva e negativa tra ciascuna coppia di zeri, ammette il seguente limite\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\sin \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=0\]in conseguenza del teorema del confronto e della seguente disequazione\[-{{x}^{2}}\le {{x}^{2}}\sin \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\le {{x}^{2}}\]da cui si deduce anche che la funzione non ammette limite per \(x\to\pm\infty\), continuando il suo grafico ad oscillare tra quello di \(y=x^2\) e quello di \(y=-x^2\). Le derivate prima e seconda
\[{{f}_{2}}'\left( x \right)=2x\sin \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-\frac{2}{x}\cos \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]\[{{f}_{2}}''\left( x \right)=2\left( \frac{{{x}^{4}}-2}{{{x}^{4}}} \right)\sin \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}}\cos \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]
si annullano, rispettivamente, in corrispondenza alle soluzioni delle equazioni trascendenti (non risolvibili semplicemente per via analitica) \[\tan \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}\quad \tan \left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}-2}\]e in tali punti, le cui successioni convergono a \(0\), si presentano infiniti massimi e minimi locali, e punti di flesso.
Infine, la terza funzione risulta definita e continua nell’insieme \({{D}_{{{f}_{3}}}}\), soluzione della disequazione\[-1\le \ln \left( x-1 \right)\le 1\to \frac{1}{e}\le x-1\le e\to \frac{e+1}{e}\le x\le e+1\quad .\] Poiché la funzione è definita e continua in un 
intervallo chiuso e limitato, si applica il teorema di Weierstrass, che implica la limitatezza della funzione: il minimo assoluto, \(\arctan \left( -\pi /2 \right)\), è assunto nell’estremo sinistro, il massimo assoluto, \(\arctan \left( \pi /2 \right)\), è assunto nell’estremo destro; non è quindi necessario effettuare limiti particolari. La funzione è monotona crescente, essendo la derivata prima \[{{f}_{3}}'\left( x \right)=\frac{1}{\left( 1+{{\arcsin }^{2}}\left( \ln \left( x-1 \right) \right) \right)\sqrt{1-{{\ln }^{2}}\left( x-1 \right)}\left( x-1 \right)}\] sempre positiva per ogni \(x\) interno a \({{D}_{{{f}_{3}}}}\), tendenzialmente infinita negli estremi dell’intervallo che costituisce il dominio, quindi \(f(x)\) si annulla una sola volta, in corrispondenza al valore \({{x}}=2\). Anche in questo caso la derivata seconda è troppo complessa per essere studiata in termini esatti; si deduce dall’andamento della funzione che il suo grafico deve presentare un cambiamento di concavità, da giù a sù, e quindi un punto di flesso obliquo.
Massimo Bergamini