Parabole e tangenti

Ricevo da Giulia la seguente domanda:
 
Salve Professore,
si dimostri che le tangenti nei punti di intersezione delle parabole di equazione \(y=x^2\) e \(y=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}+1\) sono tra loro perpendicolari.
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Giulia,
poiché le parabole si incontrano nei punti aventi ascisse che risolvono l’equazione \(4{{x}^{2}}=3\), cioè \(x=\pm \sqrt{3}/2\), calcoliamo le derivate delle due funzioni in tali punti:     \[y={{x}^{2}}\to y'=2x\to y'\left( \pm \sqrt{3}/2 \right)=\pm \sqrt{3}\] \[y=-\frac{1}{3}{{x}^{2}}+1\to y'=-\frac{2}{3}x\to y'\left( \pm \sqrt{3}/2 \right)=\mp \frac{\sqrt{3}}{3}\]
e poiché \[\left( \pm \sqrt{3} \right)\cdot \left( \mp \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=-1\] resta verificato che le coppie di tangenti sono formate da rette perpendicolari.
Massimo Bergamini