Ricevo da Simona la seguente domanda:
Professore,
gentilmente mi spiegherebbe questo problema sul calcolo combinatorio (MatematicaBlu, pag.41\(\alpha\), n.254)?
Quante distinte stringhe di \(5\) lettere dell’alfabeto inglese da \(26\) lettere (con possibile ripetizione) contengono esattamente tre lettere distinte?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Simona,
il problema, per ogni possibile scelta di \(3\) distinte lettere tra \(26\) (combinazioni semplici \({{C}_{26,3}}\)), consiste nel determinare quanti tipi di anagrammi di \(5\) lettere si possono formare e, per ogni tipo, quanti siano gli anagrammi distinti. Per intenderci, supponiamo di avere scelto le tre lettere, diciamo \(A\), \(B\), \(C\): ci sono solo \(6\) possibili tipi di anagramma, \(3\) del tipo “una lettera singola più due coppie” (nel nostro esempio \(ABBCC\), \(BAACC\), \(CAABB\)) e \(3\) del tipo “una lettera ripetuta tre volte più due singole” (nel nostro esempio \(AAABC\), \(BBBAC\), \(CCCAB\)). Ognuno dei \(6\) casi si presenta in un numero di modi pari agli anagrammi possibili (permutazioni con ripetizione) della cinquina tipica, cioè ciascuno dei primi tre in \(\frac{5!}{2!2!}=30\) modi, ciascuno dei secondi tre in \(\frac{5!}{3!}=20\) modi: in totale, ogni terna possibile di caratteri comporta \(3\cdot 30+3\cdot 20=150\) stringhe distinte. Il numero totale è quindi ottenibile dalla semplice moltiplicazione \[{{C}_{26,3}}\cdot 150=\frac{150\cdot 26!}{23!3!}=150\cdot 26\cdot 25\cdot 4=390000\quad .\]
Massimo Bergamini
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Anagrammi
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