Ricevo da Marinella la seguente domanda:
Buongiorno Professore,
ho provato a risolvere il seguente esercizio (n.261, pag.42\(\alpha\), Matematica Blu 2.0), ma non capisco come procedere.
Six people – Bob, Bobbie, Rob, Robbie, Robert and Roberta – are to be divided into two study groups. The groups cannot have any person in commom, and each group must contain at least one person. In how many ways can this be done?
Mi farebbe vedere lo svolgimento? Grazie.
Le rispondo così:
Cara Marinella,
premesso che l’ordine all’interno di ciascun gruppo non interessa, e che quindi abbiamo a che fare con combinazioni e non disposizioni, osserviamo innanzitutto che ci sono solo tre tipi di suddiivisione possibili: \(1\;-\;5\), \(2\;-\;4\), \(3\;-\;3\). Il primo tipo si può realizzare in \(6\) modi distinti, a seconda della scelta della persona che fa gruppo a sé. Il secondo tipo si può realizzare in un numero di modi pari alle possibili combinazioni di \(6\) elementi distinti presi \(2\) a \(2\), cioè \(6!/\left( 2!4! \right)=15\). Infine, l’ultimo tipo di suddivisione si può realizzare in un numero di modi pari alla metà delle combinazioni di \(6\) elementi distinti presi \(3\) a \(3\), cioè \(\left[ 6!/\left( 3!3! \right) \right]/2=10\), dove la divisione per \(2\) si rende in tal caso necessaria a causa del fatto che i due sottogruppi, contenendo le stesso numero di elementi, sono “simmetrici” e quindi, non volendo distinguere un “1° sottogruppo” da un “2° sottogruppo”, si deve dimezzare il numero di combinazioni, che in questo caso è pari al doppio delle “suddivisioni”. In conclusione, il numero complessivo delle suddivisioni possibili è \[6+15+10=31\quad .\]
Massimo Bergamini