Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Determinare: a) l’equazione della parabola di vertice \(V\), asse di simmetria parallelo all’asse \(y\), passante per \(A(0;4)\) e \(B(1;1)\), con tangente in \(B\) di coefficiente angolare \(m=2\);
b) l’equazione dell’ellisse avente i vertici in \(V\) e in \(A\);
c) l’area delle regioni di piano limitate dall’ellisse e dalla parabola.
Grazie!
Le rispondo così:
Cara Francesca,
per quanto riguarda la parabola del tipo \(y=ax^2+bx+c\), la condizione di appartenenza del punto \(A\) implica \(c=4\), mentre la tangenza in \(B\), facendo uso della formula di sdoppiamento, equivale alle condizioni \(a+b+4=1\) e \(2a+b=2\), cioè \(a=5\) e \(b=-8\), da cui l’equazione \(y=5x^2-8x+4\). Ne consegue che il vertice è il punto \(V(4/5,4/5)\). L’ellisse, che suppongo si sottintenda abbia gli assi paralleli agli assi coordinati, deve quindi avere il centro nel punto \(C(0,4/5)\) e semiassi \(a=4/5\) e \(b=4-4/5=16/5\), cioè ha equazione:\[\frac{25{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{\left( 5x-y \right)}^{2}}}{256}=1\quad .\]
La regione compresa tra la parabola e l’ellisse ha un’area \(S\) che può essere calcolata come differenza tra \(1/4\) dell’area \(S_E\) dell’intera ellisse e l’area \(S_T\) del triangolo mistilineo \(ACV\), a sua volta ottenibile come differenza tra l’area del rettangolo \(ACVF\) e \(1/2\) dell’area del segmento parabolico \(ADV\); ricordando che l’area dell’ellisse è pari a \(\pi ab\), e l’area del segmento parabolico è pari ai \(2/3\) di quella del rettangolo in cui è inscritto (formula di Archimede), si ha: \[S=\frac{1}{4}{{S}_{E}}-\frac{1}{3}{{S}_{ACVF}}=\frac{16}{25}\pi -\frac{64}{75}=\frac{16\left( 3\pi -4 \right)}{75}\approx 1,1573\quad .\]
Ovviamente, la rimanente parte dell’ellisse ha un area \(S’\) pari a \[S'={{S}_{E}}-S=\frac{64}{25}\pi -\frac{16\left( 3\pi -4 \right)}{75}=\frac{16\left( 9\pi +4 \right)}{75}\approx 6,8852\quad .\]
Massimo Bergamini
