Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non sono riusciuta a risolvere questo esercizio:
data una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) e di centro \(O\), detti \(C\) e \(D\) i punti medi dei raggi \(OA\) e \(OB\) rispettivamente, si determini una corda parallela ad \(AB\) in modo che il trapezio convesso \(CDEF\) abbia la somma dei quadrati dei quattro lati equivalenti al quadrato costruito sul diametro \(AB\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, e ricordando il teorema di Carnot, abbiamo che:\[C{{D}^{2}}={{r}^{2}}\quad C{{E}^{2}}=D{{F}^{2}}={{r}^{2}}+\frac{{{r}^{2}}}{4}-{{r}^{2}}\cos x\quad E{{F}^{2}}=4{{r}^{2}}\cos^2 x\] dove l’angolo \(F\hat{O}D=x\) è tale che \(0\le x\le \pi/2\). L’equazione richiesta è quindi la seguente: \[8{{\cos }^{2}}x-4\cos x-1=0\]la cui soluzione accettabile è \[\cos x=\frac{1+\sqrt{3}}{4}\to x \approx 46,92{}^\circ\quad .\]
Massimo Bergamini
