Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
mi può dare un aiuto a risolvere questo problema ?
Dopo aver determinato le parabole \({{\gamma }_{1}}\) e \({{\gamma }_{2}}\) appartenenti al fascio \(y=-x^2+ax+c\) passanti per \(A(0;3)\) e tangenti alla retta \(r:\;4x+4y-21=0\), detti \(M\) e \(N\) i rispettivi punti di tangenza (\(M\) appartenente al \(1^\circ\) quadrante), rispondere ai seguenti quesiti:
a) determinare la retta parallela a \(r\) che interseca gli archi \(AM\) e \(AN\) di \({{\gamma }_{1}}\) e \({{\gamma }_{2}}\) nei punti \(R\) e \(T\) in modo che sia massima l’area del triangolo \(MTR\);
b) calcolare l’area del triangolo mistilineo \(AMN\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
posto che il passaggio per \(A(0;3)\) implica \(c=3\), si tratta di imporre che l’equazione risolvente il sistema tra \(y=-x+21/4\) e \(y=-x^2+ax+3\) abbia discriminante nullo, cioè \((1+a)^2-9=0\), da cui \(a=2\) o \(a=-4\), e le relative parabole: \[{{\gamma }_{1}}:\quad -{{x}^{2}}+2x+3\quad \quad {{\gamma }_{2}}:\quad -{{x}^{2}}-4x+3\] che incontrano la retta \(r\) rispettivamente nei punti \(M\left( \frac{3}{2};\frac{15}{4} \right)\), \(N\left( -\frac{3}{2};\frac{27}{4} \right)\).
La retta parallela ad \(r\) di equazione \(y=-x+q\), con \(3\le q\le 21/4\), incontra entrambi gli archi \(AM\) e \(AN\), in punti \(R\) e \(T\) rispettivamente, che individuiamo risolvendo i relativi sistemi retta-parabola, equivalenti alle equazioni risolventi \(x^2-3x+q-3=0\) e \(x^2-3x+q-3=0\), da cui: \[R\left( \frac{3-\sqrt{21-4q}}{2},\frac{2q-3+\sqrt{21-4q}}{2} \right)\quad T\left( \frac{-3+\sqrt{21-4q}}{2},\frac{2q+3-\sqrt{21-4q}}{2} \right)\]
dove è da notare la scelta dei segni nei radicali che compaiono nelle soluzioni, coerentemente col fatto che si deve avere \(x_R<3/2\) e \(x_T>-3/2\). Possiamo quindi esprimere in funzione di \(q\) la lunghezza del lato \(RT\) del triangolo \(MTR\):\[RT=\sqrt{2{{\left( 3-\sqrt{21-4q} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\left| 3-\sqrt{21-4q} \right|=\sqrt{2}\left( 3-\sqrt{21-4q} \right)\]dove si è potuto fare a meno del valore assoluto essendo il suo argomento sicuramente non negativo nelle limitazioni di \(q\) che interessano. L’altezza \(MH=CK\) del triangolo \(MTR\) relativa al lato \(RT\) è data da \((21/4-q)/\sqrt{2}\), per cui l’area \(S(q)\) è così espressa: \[S\left( q \right)=\frac{\left( 3-\sqrt{21-4q} \right)\left( 21-4q \right)}{8}\quad .\]
Deriviamo e analizziamo zeri e segno della derivata nell’intervallo \(3\le q\le 21/4\): \[S'\left( q \right)=\frac{1}{4}\left( \frac{21-4q}{\sqrt{21-4q}}-2\left( 3-\sqrt{21-4q} \right) \right)=\frac{3}{4}\left( \sqrt{21-4q}-2 \right)\]\[S'\left( q \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{21-4q}=2\to 21-4q=4\to q=\frac{17}{4}\] valore che, come si può verificare dall’analisi dei segni di \(S’(q)\), corrisponde al massimo cercato.
Infine, il calcolo dell’area \(S\) del triangolo mistilineo \(AMN\) equivale alla somma seguente:
\[S=\int\limits_{-3/2}^{0}{\left( -x+\frac{21}{4}+{{x}^{2}}+4x-3 \right)dx+}\int\limits_{0}^{3/2}{\left( -x+\frac{21}{4}+{{x}^{2}}-2x-3 \right)dx}=\]
\[=\left[ \frac{1}{3}{{x}^{3}}+\frac{9}{4}x \right]_{-3/2}^{3/2}+\left[ \frac{3}{2}{{x}^{2}} \right]_{-3/2}^{0}+\left[ -\frac{3}{2}{{x}^{2}} \right]_{0}^{3/2}=\frac{9}{4}\quad .\]
Massimo Bergamini