Ricevo da Nadia la seguente domanda:
Fra le primitive della funzione \(f\left( x \right)={{e}^{x}}\left( 1+x \right)\) determina quella \(F(x)\) che ha come asintoto orizzontale sinistro la retta \(y=1\) e studia la funzione ottenuta determinando, in particolare, le coordinate del suo punto di flesso \(A\). Detto poi \(P\) un punto della \(F(x)\) appartenente al tratto di curva che si trova a destra del punto di flesso, sia \(g(x)\) la funzione che esprime il rapporto fra l’ascissa e l’ordinata di \(P\); determina il punto \(P\) per il quale la funzione \(g\) è massima.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Nadia,
la primitiva \(F(x)\) è una tra le infinite funzioni che possiamo esprimere tramite il seguente integrale indefinito, che risolviamo per parti:\[\int{{{e}^{x}}\left( 1+x \right)dx}={{e}^{x}}\left( 1+x \right)-\int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}+c\quad .\]
In particolare, poiché \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x{{e}^{x}}+c \right)=c\), la \(F(x)\) cercata è \(F\left( x \right)=x{{e}^{x}}+1\). Questa funzione, definita in tutto \(\mathbb{R}\), è ovunque positiva, essendo \(x{{e}^{x}}>-1\) per ogni \(x\), come si deduce dal fatto che la sua derivata, cioè \({{e}^{x}}\left( 1+x \right)\), si annulla solo in \(x=-1\), dove la funzione 
presenta un minimo, relativo e assoluto, di valore \(-{{e}^{-1}}>-1\). Il grafico di \(F(x)\) presenta appunto un asintoto orizzontale \(y=1\) nel limite \(x\to -\infty\), mentre \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,F\left( x \right)=+\infty\), e inoltre presenta un minimo, relativo e assoluto, per \(x=-1\), come si ricava dalle precedenti considerazioni. Il punto di flesso \(A\) si presenta per \(x=2\), in quanto la derivata seconda \(F”\left( x \right)={{e}^{x}}\left( x+2 \right)\) si annulla in tale punto, e la concavità cambia verso in un suo intorno. Riguardo alla funzione \[g\left( x \right)=\frac{x}{x{{e}^{x}}+1}\] si osserva che, essendo \(g’\left( x \right)=\frac{1-{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{{{\left( x{{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}\), la funzione presenta un massimo, relativo e assoluto, in corrispondenza a quel valore \(x=x_0\) tale che \({{e}^{{{x}_{0}}}}=\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}\), valore che si può stimare con uno dei vari metodi di calcolo approssimato, ricavando \({{x}_{0}}\approx 0,7035\): il punto \(P\) cercato è quindi, all’incirca, \(P\left( 0,7035;2,4215 \right)\).
Massimo Bergamini
