Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
mi può chiarire i seguenti esercizi?
1) Determina il luogo geometrico del quarto vertice di un quadrato di cui è dato il vertice \(A\) e di cui gli altri due vertici si trovano su due rette perpendicolari passanti per \(A\).
2) Qual è il luogo geometrico dei punti medi dei segmenti aventi gli estremi su due rette parallele?
3) Qual è il luogo geometrico dei vertici \(A\) dei triangoli \(ABC\) aventi base \(BC\) e tali che la mediana \(AM\) sia congruente al lato \(AC\)?
4) Qual è il luogo geometrico dei centri dei parallelogrammi aventi la base in comune e le altezze congruenti?
5) Qual è il luogo geometrico dei centri dei rettangoli aventi un lato in comune?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, poiché il quarto vertice deve appartenere comunque alla diagonale dell’angolo retto formato dai vertici assegnati, che giace sula bisettrice di tale angolo, chiaramente il luogo di tale vertice è la coppia dei quattro angoli retti definiti dalle due perpendicolari.
Nel secondo caso, presi \(A\) e \(B\) qualsiasi sulle due rette, si consideri \(B’\) in modo che \(AB\) sia il segmento di perpendicolare tra le due rette: nel triangolo \(AB’B\) i punti medi \(M’\) e \(M\) giacciono sulla parallela a \(B’B\), quindi sulla retta parallela ad entrambe le parallele assegnate, equidistante da esse. Poiché la scelta di \(A\) e \(B\) e arbitraria, e per ogni punto \(P\) di tale retta si può sempre trovare una coppia di punti \(A\) e \(B\) sulle due rette tali che \(P\) sia il punto medio di \(AB\), tale retta è il luogo cercato.
I casi 4) e 5) sono facilmente deducibili come casi particolari del 2), in quanto in entrambi i casi i centri sono punti medi di segmenti, le diagonali, che congiungono punti appartenenti a rette parallele: nel caso 4) il luogo è la parallela intermedia tra le parallele su cui giacciono la base \(AB\) e il lato opposto \(CD\) (l’altezza assegnata impone a tale lato di appartenere ad una stessa parallela alla base), nel caso 5) il luogo è l’asse del lato \(AB\) comune ai rettangoli.
Nel caso 3) il vertice \(A\) è equidistante dai punti \(M\) e \(C\), quindi il luogo cercato è l’asse del segmento \(MC\), cioè la perpendicolare al lato \(BC\) dei triangoli \(ABC\), passante per un punto che divide tale lato in due parti, l’una tripla dell’altra.
Massimo Bergamini