Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego, mi illustri con figure i seguenti esercizi:
1) Determina la lunghezza del raggio di una circonferenza circoscritta ad un pentagono regolare di lato lungo \(\sqrt{5-\sqrt{5}}\).
2) Dimostra che ogni corda \(AB\) di una circonferenza è media proporzionale fra il diametro condotto per \(A\) e la distanza da \(B\) dalla tangente alla circonferenza in \(A\).
3) Considera un trapezio \(ABCD\) rettangolo in \(A\) e \(D\). Dimostra che se le diagonali sono perpendicolari i triangoli \(ABD\) e \(ADC\) sono simili.
4) Daro un trapezio \(ABCD\) sia \(O\) il punto di intersezione delle diagonali. Dimostra che i triangoli \(AOB\) e \(CDO\) sono simili.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, ricordando che in un triangolo isoscele di angolo al vertice di \(36{}^\circ\) la base è sezione aurea del lato obliquo, si dimostra che \[\sin 18{}^\circ =\frac{\sqrt{5}-1}{4}\to \cos 18{}^\circ =\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\to \] \[\to \sin 36{}^\circ =2\sin 18{}^\circ \cos 18{}^\circ =\frac{\left( \sqrt{5}-1 \right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}\]
per cui, essendo il raggio \(r\) il lato obliquo di un triangolo isoscele di angolo al vertice \(72{}^\circ\) di cui il lato \(l\) del pentagono è la base, si ha: \[r=\frac{l}{2\sin 36{}^\circ }=\frac{4\sqrt{5-\sqrt{5}}}{\left( \sqrt{5}-1 \right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\frac{4\sqrt{\left( 5-\sqrt{5} \right)\left( 10+2\sqrt{5} \right)}\left( \sqrt{5}-1 \right)}{4\left( 10+2\sqrt{5} \right)}=\]\[=\frac{\sqrt{40}\left( \sqrt{5}-1 \right)\left( 10-2\sqrt{5} \right)}{80}=\frac{\sqrt{40}\left( 8\sqrt{5} \right)}{80}=\sqrt{2}\quad .\]
Nel secondo caso, basta osservare che i triangoli \(ABC\) e \(ABD\) sono simili, in quanto i segmenti paralleli \(AC\) e \(BD\) formano angoli alterni interni congruenti; ne consegue la tesi: \[AC:AB=AB:BD\quad .\]
Nel terzo caso, la similitudine dei triangoli rettangoli \(ABD\) e \(ADC\) consegue immediatamente dal fatto che gli angoli \(D\hat{C}A\) e \(A\hat{D}B\) sono congruenti, in quanto supplementari dello stesso angolo \(C\hat{D}B\).
Nell’ultimo caso, la similitudine richiesta è un’immediata conseguenza del teorema delle parallele tagliate da trasversali e la conseguente congruenza delle coppie di angoli alterni interni.
Massimo Bergamini