Ricevo da Carlo la seguente domanda:
Buonasera professore,
non riesco a risolvere i seguenti problemi con i limiti (pag. 1537, n.563 e n.566, Matematica.blu.2.0 vol.5):
1) Data una circonferenza di raggio \(r\) e una sua corda \(AB\) a distanza \(r/2\) dal centro \(O\), indica con \(M\) il punto medio del maggiore dei due archi \(AB\) e con \(P\) un generico punto dell’arco minore. Il segmento \(MP\) interseca la corda \(AB\) in \(Q\). Calcola \[\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{PA}}{\overline{AQ}}\quad .\]
2) Dato il settore circolare \(AOB\) di centro \(O\), raggio \(1\) e angolo al centro \(\pi/4\), considera un punto \(P\) sull’arco \(AB\) e la sua proiezione \(H\) su \(OA\). Traccia la circonferenza con centro in \(H\) passante per \(P\) e sia \(Q\) il suo punto di intersezione con \(OA\). Determina \[\underset{P\to B}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{OQ}}{\overline{BP}}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Carlo,
nel primo caso considera che \(AM=AB=\sqrt{3}r\), poiché entrambe le corde sottendono un angolo al centro di \(\frac{2}{3}\pi\), quindi, posto \(x=A\hat{M}P\), per il teorema della corda sia ha \(AP=2r\sin x\), mentre, per il teorema dei seni applicato al triangolo \(AQM\), si ha \[AQ=\frac{\sqrt{3}r\sin x}{\sin \left( \frac{2}{3}\pi -x \right)}=\frac{2\sqrt{3}r\sin x}{\sqrt{3}\cos x+\sin x}\] per cui: \[\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{PA}}{\overline{AQ}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2r\sin x\left( \sqrt{3}\cos x+\sin x \right)}{2\sqrt{3}r\sin x}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3}\cos x+\sin x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1\quad .\]
Nel secondo caso, posto \(x=A\hat{O}P\), si ha \(PH=QH=\sin x\), da cui \(OQ=OH-QH=\cos x-\sin x\), e \(BP=2\sin \left( \frac{\pi }{8}-\frac{x}{2} \right)\) (teorema della corda), pertanto, posto \(t=\frac{\pi }{8}-\frac{x}{2}\): \[\underset{P\to B}{\mathop{\lim }}\,\frac{\overline{OQ}}{\overline{BP}}=\underset{x\to {{\frac{\pi }{4}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-\sin x}{2\sin \left( \frac{\pi }{8}-\frac{x}{2} \right)}=\]\[=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos \left( \frac{\pi }{4}-2t \right)-\sin \left( \frac{\pi }{4}-2t \right)}{2\sin t}=\]\[=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos \left( 2t-\frac{\pi }{4} \right)+\sin \left( 2t-\frac{\pi }{4} \right)}{2\sin t}=\]\[=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2}\sin \left( 2t \right)}{2\sin t}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2}\sin t\cos t}{\sin t}=\sqrt{2}\quad .\]
Massimo Bergamini