Composizione di funzioni

Ricevo da Leonardo la seguente domanda:

Gent.mo professore,

ho un problema sulla composizione di funzioni. L’ho svolto ma il risultato del libro è diverso dal mio. Date le funzioni

\[f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x\quad  x<0 \\ -x^2 \quad 0\le x \le 1 \\ x^2 \quad x>1 \end{array} \right.\]

\[g(x)=\left\{ \begin{array}{lll} –x^2+1\quad  x<-1 \\ 0 \quad -1\le x \le 0 \\ x^2 \quad x>0 \end{array} \right.\] devo determinare la funzione composta \(f\left( g\left( x \right) \right)\).

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Leonardo,

innanzitutto osserviamo, confortati anche dall’analisi grafica, che sussistono le condizioni di componibilità, essendo \({{C}_{g}}=\mathbb{R}={{D}_{f}}\); quindi, proseguiamo considerando quali siano le condizioni su \(x\) per le quali si abbia, rispettivamente: \(g\left( x \right)<0\), \(0\le g\left( x \right)\le 1\), \(g\left( x \right)>1\). Analizzando le espressioni di \(g(x)\), e aiutandoci con il suo grafico, concludiamo che:            \[g\left( x \right)<0\leftrightarrow x<-1\quad 0\le g\left( x \right)\le 1\leftrightarrow -1\le x\le 1\quad g\left( x \right)>1\leftrightarrow x>1\]

il che implica che:

• per \(x<-1\), l’espressione di \(g(x)\), cioè \(-x^2+1\), deve essere “inserita” nell’espressione che \(f(x)\) ha qualora il suo argomento sia minore di \(0\), cioè \(x\), per cui \(f\left( g\left( x \right) \right)=-{{x}^{2}}+1\);
• per \(-1\le x \le 0\), l’espressione di \(g(x)\), cioè \(0\), deve essere “inserita” nell’espressione che \(f(x)\) ha qualora il suo argomento sia compreso tra \(0\) e \(1\) compresi, cioè \(-x^2\), per cui \(f\left( g\left( x \right) \right)=-{{0}^{2}}=0\);
• per \(0< x \le 1\), l’espressione di \(g(x)\), cioè \(x^2\), deve essere “inserita” nell’espressione che \(f(x)\) ha qualora il suo argomento sia compreso tra \(0\) e \(1\) compresi, cioè \(-x^2\), per cui \(f\left( g\left( x \right) \right)=-{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}=-{{x}^{4}}\);
• per \(x>1\), l’espressione di \(g(x)\), cioè \(x^2\), deve essere “inserita” nell’espressione che \(f(x)\) ha qualora il suo argomento sia maggiore di \(1\), cioè \(x^2\), per cui \(f\left( g\left( x \right) \right)={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}={{x}^{4}}\).

Riassumendo: \[f\left( g\left( x \right) \right)=\left\{ \begin{array}{llll} –x^2+1\quad  x<-1 \\ 0 \quad -1\le x \le 0 \\ -x^4 \quad 0<x\le 1 \\ x^4 \quad x>1 \end{array} \right.\quad .\]

Massimo Bergamini