Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
come si risolvono questi problemi?
1) Tagliare una sfera di raggio \(r\) con un piano in modo che la differenza delle superfici delle calotte stia in rapporto \(k\) con quella del cerchio sezione.
2) Determinare il raggio di base \(x\) e l’altezza \(y\) di una calotta di una sfera di raggio \(r\) sapendo che la somma dell’area della calotta e del doppio del cerchio di base della calotta è in rapporto \(k\) con l’area della sfera.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, posta uguale a \(x\) l’altezza di una delle due calotte, con \(0\le x \le r\), il raggio del cerchio sezione è dato da \(\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}\), per cui le superfici \(C_1\) e \(C_2\) delle due calotte e la superficie \(C_3\) del cerchio sezione sono date da: \[{{C}_{1}}=2\pi rx\quad \quad {{C}_{2}}=4\pi {{r}^{2}}-2\pi rx\quad \quad {{C}_{3}}=\pi x\left( 2r-x \right)\]pertanto l’equazione richiesta è la seguente: \[\frac{4r\left( r-x \right)}{x\left( 2r-x \right)}=k\to k{{x}^{2}}-2r\left( 2+k \right)x+4{{r}^{2}}=0,\ 0\le x\le r\quad .\]
Non si perde generalità nel problema se si pone per comodità \(r=1\), quindi possiamo ricavare il seguente modello geometrico-analitico del nostro problema: \[\left\{ \begin{array}{lll} y=x^2 \\ ky-2(2+k)x+4=0 \\ 0\le x\le 1 \end{array} \right.\] equivalente al problema di intersecare il fascio proprio di rette di centro \((1,2)\) con l’arco della parabola canonica \(y=x^2\) di estremi \((0,0)\) e \((1,1)\); poiché la retta del fascio passante per \((0,0)\) è quella corrispondente a \(k=\infty\), mentre quella passante per \((1,1)\) è la retta verticale corrispondente a \(k=0\), concludiamo che il problema ammette una e una sola soluzione per ogni \(k\ge 0\).
Nel secondo caso, detta \(y\) l’altezza della calotta, con \(0\le y \le 2\), e posto che il raggio del cerchio sezione è \(\sqrt{2y-{{y}^{2}}}\), si ha l’equazione \[\frac{2\pi y+2\pi y\left( 2-y \right)}{4\pi }=k\to {{y}^{2}}-3y+2k=0,\quad 0\le y\le 2\] da cui possiamo ricavare il seguente modello geometrico-analitico del nostro problema: \[\left\{ \begin{array}{lll} Y=y^2 \\ Y-3y+2k=0 \\ 0\le y\le 2 \end{array} \right.\] equivalente al problema di intersecare il fascio improprio di rette di pendenza \(m=3\) con l’arco della parabola canonica \(Y=y^2\) di estremi \((0,0)\) e \((2,4)\); poiché la retta del fascio passante per \((0,0)\) è quella corrispondente a \(k=0\), quella passante per \((2,4)\) è quella corrispondente a \(k=1\), mentre quella tangente all’arco di parabola corrisponde a \(k=9/8\), concludiamo che il problema ammette una sola soluzione per \(0\le k < 1\), due soluzioni distinte per \(1\le k < 9/8\), due soluzioni coincidenti per \(k=9/8\).
Massimo Bergamini