Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
come si costruisce la figura di questo solido?
Un tetraedro \(ABCV\) si è ottenuto da un cono circolare retto avente raggio \(r\) e altezza \(h\) secando il cono con tre piani passanti per il vertice \(V\). Di tali piani uno contiene il diametro \(BC\) del cerchio base e uno stacca su quest’ultimo una corda che è i \(10/13\) di \(r\). Si esprimano per mezzo di \(r\) e di \(h\) le lunghezze dei sei spigoli, le aree delle quattro facce, il volume del tetraedro, la superficie totale del solido.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
mi sembra che la figura a lato illustri a sufficienza la costruzione: la faccia contenente il diametro \(BC\) è perpendicolare al piano di base, mentre le altre due sono i triangoli isosceli \(BVA\) e \(AVC\), aventi per basi i cateti \(BA=\frac{10}{13}r\) e \(AC=\frac{24}{13}r\)del triangolo rettangolo di ipotenusa \(AB=2r\) inscritto nel cerchio di base. Quindi: \[BC=2r,BV=AV=VC=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}},BA=\frac{10}{13}r,AC=\frac{24}{13}r\] \[{{S}_{BCV}}=rh,{{S}_{ABV}}=\frac{5r}{169}\sqrt{169{{h}^{2}}+144{{r}^{2}}}\] \[{{S}_{ACV}}=\frac{12r}{169}\sqrt{169{{h}^{2}}+25{{r}^{2}}},{{S}_{ABC}}=\frac{120{{r}^{2}}}{169}\] \[{{V}_{ABCV}}=\frac{40}{169}{{r}^{2}}h\] e naturalmente la superficie totale del tetraedro non è altro che la somma delle aree delle quattro facce.
Massimo Bergamini