Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di aiutarmi a capire questo quesito:
Un parallelogramma ha un vertice in \(P(4,2)\) e uno dei suoi lati appartenente alla retta di equazione \(3y+2x+3=0\). Sapendo che la sua area misura \(34\), calcola la misura della base.
Si possono conoscere le coordinate degli altri vertici del parallelogramma?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
detti \(Q\), \(R\) e \(S\) gli altri tre vertici del parallelogramma, la condizione richiesta impone o al lato \(QR\) o al lato \(RS\) di appartenere alla retta \(3y+2x+3=0\); comunque sia, tale lato, diciamo \(RS\), è la base la cui altezza relativa è la distanza \(PH\) di \(P\) dalla retta stessa, e tale distanza è: \[\overline{PH}=\frac{\left| 6+8+3 \right|}{\sqrt{13}}=\frac{17\sqrt{13}}{13}\] per cui la base deve avere misura \(b\) tale che\[b\cdot \frac{17\sqrt{13}}{13}=34\to b=2\sqrt{13}\quad .\]
Poiché il lato \(PQ\) deve anch’esso misurare \(2\sqrt{13}\) e appartenere alla retta per \(P\) parallela a \(3y+2x+3=0\), vi sono due possibili posizioni per il vertice \(Q\), ma il lato \(RS\) può essere collocato ovunque sulla retta \(3y+2x+3=0\), senza che questo modifichi l’area del parallelogramma, quindi non è possibile conoscere univocamente le coordinate dei vertici \(Q\), \(R\) e \(S\).
Massimo Bergamini