Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego mi aiuti con questo quesito:
Il circocentro \(O\) di un triangolo isoscele \(ABC\) di base \(BC\) dista \(20\;cm\) dal vertice \(A\). Calcolare l’area della superficie ed il perimetro del triangolo sapendo che ciascuno dei lati congruenti misura \(32\;cm\). Indicato con \(H\) il piede dell’altezza relativa al lato \(BC\), con \(D\) e \(E\) rispettivamente i punti medi dei lati \(AB\) e \(AC\), dimostrare che i punti \(B\), \(D\), \(O\) e \(H\) sono conciclici e che il quadrilatero \(ADOE\) è inscrittibile in una circonferenza. Calcolare poi la misura del raggio del cerchio inscritto nel quadrilatero \(ADOE\), la superficie e il volume del solido generato dalla rotazione completa del quadrilatero \(BDOH\) intorno alla retta \(AH\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
poiché il triangolo \(BOA\) è isoscele, il punto medio \(D\) del lato \(AB\) lo divide in due triangoli rettangoli congruenti, con il cateto comune \(DO\) di misura \(12\); poiché i triangoli \(ADO\) e \(BAH\) sono simili, si ricava: \[\frac{AH}{AB}=\frac{AD}{AO}\to AH=\frac{128}{5}\to BH=\frac{96}{5}\] e quindi: \[2{{p}_{ABC}}=\frac{512}{5}\quad {{S}_{ABC}}=\frac{12288}{25}\quad .\] Che i punti \(B\), \(D\), \(O\) e \(H\) siano con ciclici, cioè che \(BDOH\) sia inscrittibile in una circonferenza, risulta immediatamente dal fatto che i triangoli \(BDO\) e \(BHO\) sono entrambi rettangoli con ipotenusa \(BO\) in comune, per cui appartengono a due semicirconferenze opposte di una stessa circonferenza di diametro \(BO\); per lo stesso motivo, risulta inscrittibile il quadrilatero \(ADOE\), e \(AO\) costituisce il diametro della circonferenza circoscritta. Per ricavare il raggio \(r\) della circonferenza inscritta in tale quadrilatero, ricorriamo alla seguente formula: \[r=\frac{{{S}_{ADOE}}}{{{p}_{ADOE}}}=\frac{12\cdot 16}{12+16}=\frac{48}{7}\quad .\] Possiamo ricavare il volume del solido generato dalla rotazione intorno ad \(AH\) del quadrilatero \(BDOH\) come differenza tra il volume del cono generato dalla rotazione di \(ABH\) e il volume del doppio cono generato dalla rotazione di \(ADO\) intorno ad \(AO\): \[V=\frac{1}{3}\pi \left[ {{\left( \frac{96}{5} \right)}^{2}}\frac{128}{5}-{{\left( \frac{48}{5} \right)}^{2}}20 \right]=\frac{316416}{125}\pi \ c{{m}^{3}}\] e la superficie totale è data da: \[S=\pi {{\left( \frac{96}{5} \right)}^{2}}+\pi \frac{96}{5}32+\pi \frac{48}{5}20-\pi \frac{48}{5}16=\frac{378816}{25}\pi \ c{{m}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini