Ricevo da Manola la seguente domanda:
Ill.mo Professore,
Le chiedo cortesemente un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio:
Data la funzione \[f\left( x \right)=x\left| 3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)} \right|\]
a) determinarne il dominio, calcolarne i limiti agli estremi e determinare eventuali asintoti;
b) studiarne la prolungabilità agli estremi del dominio e la derivabilità;
c) calcolare \(f’\) e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di \(f\);
d) calcolare i limiti significativi di \(f’\);
e) disegnarne un grafico qualitativo di \(f\) (non si richiedono il calcolo della derivata seconda e lo studio della concavità e della convessità).
La ringrazio vivamente per la Sua disponibilità.
Le rispondo così:
Cara Manola,
riguardo al dominio, si deve avere \(2x>0\) e \(2x\ne 1\), da cui \({{D}_{f}}=\left] 2,+\infty \right[-\left\{ \frac{1}{2} \right\}\), per cui si calcolano i seguenti limiti: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\left| 3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)} \right|=0\left( 3+\frac{1}{-\infty } \right)=0\left( 3+0 \right)=0\] \[\underset{x\to {{\frac{1}{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,x\left| 3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)} \right|=\frac{1}{2}\left| 3+\frac{1}{\ln \left( {{1}^{-}} \right)} \right|=\frac{1}{2}\left| 3+\frac{1}{{{0}^{-}}} \right|=\frac{1}{2}\left| 3-\infty \right|=+\infty\] \[\underset{x\to {{\frac{1}{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\left| 3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)} \right|=\frac{1}{2}\left| 3+\frac{1}{\ln \left( {{1}^{+}} \right)} \right|=\frac{1}{2}\left| 3+\frac{1}{{{0}^{+}}} \right|=\frac{1}{2}\left| 3+\infty \right|=+\infty\] \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left| 3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)} \right|=+\infty \left| 3+\frac{1}{+\infty } \right|=+\infty \left| 3+0 \right|=+\infty\]
per cui il grafico di \(f(x)\) presenta un asintoto verticale per \(x=\frac{1}{2}\), è prolungabile per continuità in \(x=0\), posto \(f(0)=0\), mentre non è presente un asintoto obliquo, infatti:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left| 3+\frac{1}{+\infty } \right|=3\to \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-3x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\ln \left( 2x \right)}=+\infty \quad .\]
Poiché \(3+\frac{1}{\ln \left( 2x \right)}\) è minore di \(0\) per \(x\in \left] \frac{1}{2\sqrt[3]{e}},\frac{1}{2} \right[\), il grafico di \(f(x)\) presenta in \(x=\frac{1}{2\sqrt[3]{e}}\) un punto di non derivabilità del tipo punto angoloso, oltre che uno zero per la funzione stessa; infatti:
\[f'\left( x \right)=\frac{3{{\ln }^{2}}\left( 2x \right)+\ln \left( 2x \right)-1}{{{\ln }^{2}}\left( 2x \right)}\quad 0<x<\frac{1}{2\sqrt[3]{e}}\vee x>\frac{1}{2}\]\[f'\left( x \right)=-\frac{3{{\ln }^{2}}\left( 2x \right)+\ln \left( 2x \right)-1}{{{\ln }^{2}}\left( 2x \right)}\quad \frac{1}{2\sqrt[3]{e}}<x<\frac{1}{2}\]per cui, posto \({{x}_{1}}=\frac{1}{2\sqrt[3]{e}}\), si ha:
\[\underset{x\to {{x}_{1}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=-9\ne 9=\underset{x\to {{x}_{1}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)\quad .\]
L’analisi del segno della derivata prima conduce alla
conclusione che \(f(x)\) sia monotona crescente nei seguenti intervalli: \[\left] 0,\frac{1}{2\sqrt[6]{{{e}^{\sqrt{13}+1}}}} \right[\cup \left] \frac{1}{2\sqrt[3]{e}},\frac{1}{2} \right[\cup \left] \frac{\sqrt[6]{{{e}^{\sqrt{13}-1}}}}{2},+\infty \right[\]e monotona decrescente altrove, per cui il grafico presenta un massimo relativo per \(x=\frac{1}{2\sqrt[6]{{{e}^{\sqrt{13}+1}}}}\) e un minimo relativo per \(x=\frac{\sqrt[6]{{{e}^{\sqrt{13}-1}}}}{2}\); un secondo minimo, relativo e anche assoluto, è presente nel punto angoloso di ascissa \(x=\frac{1}{2\sqrt[3]{e}}\).
Massimo Bergamini