Ricevo da Ambra la seguente domanda:
Salve professore,
per esercitare la mente mi diverto ad eseguire esercizi di matematica, ma questo integrale mi da dei problemi!
\[\int{\frac{1}{x\left( {{\ln }^{3}}x-1 \right)}}dx\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Ambra,
osservando che \(\frac{1}{x}\) è la derivata di \(\ln x\), posto \(t=\ln x\), si può procedere nel modo seguente:
\[\int{\frac{1}{x\left( {{\ln }^{3}}x-1 \right)}}dx=\int{\frac{1}{{{t}^{3}}-1}}dt=\int{\frac{1}{\left( t-1 \right)\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}}dt=\] \[=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{t-1}}dt-\frac{1}{3}\int{\frac{t+2}{{{t}^{2}}+t+1}}dt=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{t-1}}dt-\frac{1}{6}\int{\frac{2t+1}{{{t}^{2}}+t+1}}dt-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{{{t}^{2}}+t+1}}dt=\] \[=\frac{1}{3}\ln \left| t-1 \right|-\frac{1}{6}\ln \left( {{t}^{2}}+t+1 \right)-\frac{\sqrt{3}}{3}\int{\frac{2/\sqrt{3}}{1+{{\left( \frac{2t+1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}}dt=\] \[=\frac{1}{3}\ln \left| t-1 \right|-\frac{1}{6}\ln \left( {{t}^{2}}+t+1 \right)-\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{2t+1}{\sqrt{3}} \right)+c\] per cui, in definitiva: \[\int{\frac{1}{x\left( {{\ln }^{3}}x-1 \right)}}dx=\frac{1}{3}\ln \left| \ln x-1 \right|-\frac{1}{6}\ln \left( {{\ln }^{2}}x+\ln x+1 \right)-\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan \left( \frac{2\ln x+1}{\sqrt{3}} \right)+c\quad .\]
Massimo Bergamini