Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego, mi aiuti a risolvere questo esercizio:
Data la funzione \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2 \quad -\pi\le x < 0 \\ -3\quad\ 0\le x <\pi \end{array} \right.\] dire se sia sviluppabile in serie di Fourier e dedurre la somma della seguente serie numerica:
\[\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1-\cos n\pi }{n\pi }}\sin \left( 2n \right)\]
applicando la serie di Fourier trovata.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la funzione \(f\left( x \right)\), prolungata periodicamente su \(\mathbb{R}\), presenta un grafico “a gradini” con punti di discontinuità in corrispondenza di \(x=k\pi\), \(k\in \mathbb{Z}\); la funzione è sviluppabile in serie di Fourier, e i suoi coefficienti nello sviluppo in serie sono: \[{{a}_{0}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{f\left( x \right)dx}=\frac{1}{\pi }\left[ -3x \right]_{0}^{\pi }+\frac{1}{\pi }\left[ 2x \right]_{\pi }^{2\pi }=-1\] \[{{a}_{n}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{f\left( x \right)\cos nx\,dx}=\frac{1}{n\pi }\left[ -3\sin nx \right]_{0}^{\pi }+\frac{1}{n\pi }\left[ 2\sin nx \right]_{\pi }^{2\pi }=0\quad \forall n\ge 1\] \[{{b}_{k}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{f\left( x \right)\sin nx\,dx}=\frac{1}{n\pi }\left[ 3\cos nx \right]_{0}^{\pi }-\frac{1}{n\pi }\left[ 2\cos nx \right]_{\pi }^{2\pi }=-\frac{5\left( 1-\cos n\pi \right)}{n\pi }=\frac{5\left[ {{\left( -1 \right)}^{n}}-1 \right]}{n\pi }\quad \forall n\ge 1\] quindi possiamo scrivere: \[f\left( x \right)\sim{\ }\ -\frac{1}{2}-5\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1-\cos n\pi }{n\pi }\sin nx}\quad .\] 
Nel grafico è rappresentata \(f(x)\) insieme al suo sviluppo in polinomio di Fourier arrestato a \(n=9\): \[f\left( x \right)\sim{\ }\ -\frac{1}{2}-\frac{10}{\pi }\left( \sin x+\frac{1}{3}\sin 3x+...+\frac{1}{9}\sin 9x \right)\quad .\] Infine, poiché \(f\left( 2 \right)=-3\), si ha: \[-3=-\frac{1}{2}-5\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1-\cos n\pi }{n\pi }\sin 2x}\to \sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1-\cos n\pi }{n\pi }\sin 2x}=\frac{1}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini