Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
ho provato a fare questa espressione con i radicali (Matematica.blu 2.0, pag. 852, n.682):
\[\frac{{{\left( x+y \right)}^{\frac{1}{3}}}{{\left( {{x}^{\frac{4}{3}}}+x{{y}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}{{{\left( {{x}^{\frac{8}{3}}}-{{x}^{\frac{7}{3}}}{{y}^{\frac{1}{3}}}+{{x}^{2}}{{y}^{\frac{2}{3}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}\]
ma non riesco a capire come farla.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
ricordando la scomposizione in fattori di una somma di cubi, e il fatto che \(x={{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{3}}\) possiamo dire che
\[x+y=\left( {{x}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{1}{3}}} \right)\left( {{x}^{\frac{2}{3}}}-{{x}^{\frac{1}{3}}}{{y}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{2}{3}}} \right)\]
per cui:
\[\frac{{{\left( x+y \right)}^{\frac{1}{3}}}{{\left( {{x}^{\frac{4}{3}}}+x{{y}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}{{{\left( {{x}^{\frac{8}{3}}}-{{x}^{\frac{7}{3}}}{{y}^{\frac{1}{3}}}+{{x}^{2}}{{y}^{\frac{2}{3}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}=\]
\[=\frac{{{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}{{\left( {{x}^{\frac{2}{3}}}-{{x}^{\frac{1}{3}}}{{y}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{2}{3}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}{{\left( x\left( {{x}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{1}{3}}} \right) \right)}^{\frac{2}{3}}}}{{{\left( {{x}^{2}}\left( {{x}^{\frac{2}{3}}}-{{x}^{\frac{1}{3}}}{{y}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{2}{3}}} \right) \right)}^{\frac{1}{3}}}}=\]\[=\frac{{{x}^{\frac{2}{3}}}{{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}{{\left( {{x}^{\frac{2}{3}}}-{{x}^{\frac{1}{3}}}{{y}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{2}{3}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}{{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}{{{x}^{\frac{2}{3}}}{{\left( {{x}^{\frac{2}{3}}}-{{x}^{\frac{1}{3}}}{{y}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{2}{3}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}={{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}{{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}={{x}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{1}{3}}}\quad .\]
Massimo Bergamini