Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
mi può aiutare a risolvere questo problema?
Determinare \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) affinchè la curva di equazione:
\[y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{dx-4}\]
abbia per asintoto obliquo la retta \(y=x+1\) e massimo relativo uguale a \(1\) per \(x=2\).
Detti \(A\) e \(B\) i punti in cui la retta \(y=mx\) incontra la curva, determinare il luogo \(\gamma\) descritto dal punto medio \(M\) del segmento \(AB\) al variare di \(m\).
Tra tutti i rettangoli, aventi un lato sull’asse \(x\) e inscritti nella regione limitata dalla curva e dal semiasse \(x\ge 0\), determinare quello avente area massima.
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
la condizione relativa all’asintoto obliquo implica le seguenti uguaglianze:
\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{d{{x}^{2}}-4x}=\frac{a}{d}=1\to d=a\quad \quad \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a{{x}^{2}}+bx+c-a{{x}^{2}}+4x}{ax-4}=\frac{b+4}{a}=1\]
cioè \(d=a\) e \(b=a-4\). Inoltre, il passaggio del grafico per il punto \((2;1)\) implica:\[\frac{4a+2\left( a-4 \right)+c}{2a-4}=1\to c=4-4a\] e la condizione di massimo relativo comporta \(y’\left( 2 \right)=0\), cioè: \[y'\left( 2 \right)=\frac{2{{a}^{2}}-6a+4}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}=0\to a=1\quad \vee \quad a=2\quad .\]
La possibilità che sia \(a=2\) va esclusa, in quanto implicherebbe \(b=-2\), \(c=-4\), \(d=2\), e quindo la funzione si ridurebbe alla retta coincidente con l’asintoto, cioè \(y=x+1\); restano quindi definiti i parametri \(a=1\), \(b=-3\), \(c=0\) e \(d=1\), e la funzione\[y=\frac{{{x}^{2}}-3x}{x-4}\quad .\]Una retta \(y=mx\) incontra il grafico della funzione, oltre che nell’origine \(A(0;0)\), nel punto di coordinate \[B\left( \frac{4m-3}{m-1};\frac{\left( 4m-3 \right)m}{m-1} \right)\] per cui il punto medio \(M\) del segmento \(AB\) ha coordinate \[M\left( \frac{4m-3}{2\left( m-1 \right)};\frac{\left( 4m-3 \right)m}{2\left( m-1 \right)} \right)\quad .\] Esplicitando \(m\) in funzione di \(x\) si ottiene \[m=\frac{2x-3}{2x-4}\]da cui, sostituendo nella \(y\) di \(M\), l’equazione del luogo cercato: \[y=\frac{2{{x}^{2}}-3x}{2x-4}\quad .\]
Per quanto riguarda i rettangoli inscritti nella curva, dal grafico si deduce che nel loro insieme possono essere definiti come i rettangoli aventi per altezza un’ordinata \(y\) compresa tra \(0\) e \(1\) (il massimo relativo), e come base la differenza tra le ascisse dei punti del grafico che hanno ordinata \(y\), cioè \[y=\frac{{{x}^{2}}-3x}{x-4}\to {{x}_{1,2}}=\frac{3+y\pm \sqrt{{{y}^{2}}-10y+9}}{2}\] per cui la base del rettangolo ha misura \(\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=\sqrt{{{y}^{2}}-10y+9}\) mentre l’altezza misura \(y\), e ne consegue che la funzione area da rendere massima è la seguente: \[S\left( y \right)=y\sqrt{{{y}^{2}}-10y+9}\] per \(0\le y \le 1\). Derivando e analizzando zeri e segno della derivata si ha: \[S'\left( y \right)=\frac{2{{y}^{2}}-15y+9}{\sqrt{{{y}^{2}}-10y+9}}\to S'\left( y \right)=0\leftrightarrow y=\frac{15\pm \sqrt{153}}{4}\] si ricava che l’unico valore accettabile, e corrispondente al massimo cercato, è \(y=\frac{15-\sqrt{153}}{4}\approx 0,658\), corrispondente ai punti di ascisse \({{x}_{1}}\approx 0,985\) e \({{x}_{2}}\approx 2,67\).
Massimo Bergamini