Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Gentile professore,
mi aiuterebbe a capire come si svolge il seguente esercizio (pag.1689, n.602, Matematica.blu2.0, vol.V)?
Deriva la seguente funzione
\[f\left( x \right)=\left| \ln \sqrt{x} \right|\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
poiché
\[f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{ll} -\ln \sqrt{x}\quad 0<x\le 1 \\ \ln \sqrt{x}\quad \quad x>1 \end{array} \right.\] possiamo senz’altro dire che \[f'\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{1}{2x}\quad 0<x<1 \\ \frac{1}{2x}\quad \quad x>1 \end{array} \right.\] e anche che per \(x=1\) la funzione non è derivabile, in quanto \[\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \sqrt{1+h}}{h}=\frac{1}{2}\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+h \right)}{h}=\frac{1}{2}\ne \underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\ln \sqrt{1+h}}{h}=-\frac{1}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini