Ricevo da Giorgio la seguente domanda:
Gentile professor Bergamini,
questo problema (Matematica.blu. 2.0, pag.41\(\alpha\), n.257) mi ha intrigato molto e vorrei chiederle chiarimenti riguardo la strategia risolutiva.
Otto celebrità si incontrano a un party. Succede così che ciascuna celebrità stringe la mano esattamente ad altre due. Un ammiratore tiene una lista di tutte le coppie (non ordinate ) di celebrità che si sono strette la mano. Se l’ordine non conta, quante diverse liste sono possibili?
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Giorgio,
in effetti il problema è piuttosto intrigante… Ti propongo questa strategia: possiamo elencare le strette di mano suddividendo le persone in sottogruppi di almeno tre individui, e immaginando che ogni sottogruppo formi un circolo in cui ogni persona stringe la mano ai suoi due primi vicini, e quindi riduciamo il problema al conteggio dei modi possibili di formare i sottogruppi e, per ogni data tipologia di suddivisione, al conteggio dei modi distinti in cui si possono ordinare le persone in ogni sottogruppo. Le liste di coppie (ogni lista elenca \(8\) coppie) ottenute con una data tipologia di suddivisione non possono comparire in nessuna lista di coppie ottenuta con una diversa tipologia di suddivisione, per cui il numero totale di liste si ottiene sommando il totale di modi di ciascun tipo di suddivisione. (Se vuoi un’immagine geometrica, la questione equivale alla seguente: date \(n\) lettere, contare il numero di modi in cui possiamo attribuire queste lettere ai vertici di poligoni con un numero di lati compreso tra \(3\) e \(n\), indipendentemente dall’orientamento, orario/antiorario, dei vertici stessi).
Nel caso di \(8\) persone, le possibili suddivisioni in sottogruppi sono solo \(3\):
1) un solo gruppo di \(8\) persone;
2) una divisione in due gruppi di \(5\) e \(3\) persone;
3) una divisione in due gruppi di \(4\) e \(4\) persone.
Nel primo caso, fissata una persona qualsiasi, i modi in cui possiamo collocare un’altra persona alla sua sinistra sono \(7\), da moltiplicare per i modi in cui possiamo collocare una terza persona alla sinistra della seconda, cioè \(6\), e così via fino a completare il cerchio: si ottengono \(7!\) possibilità che vanno però divise per due, poiché è evidente che per ognuna di esse ve ne è una simmetrica in cui la stessa sequenza di persone è percorsa in senso antiorario invece che orario. Il conto è completo, poiché non importa da quale persona abbiamo cominciato: cominciare da un’altra ci darebbe le stesse possibili liste di coppie, poiché sarebbe come guardare agli stessi circoli di persone solo partendo da un “vertice” diverso: il numero totale di liste, in questo primo caso, è \(\frac{7!}{2}=2520\).
Nel secondo caso, osserviamo che vi sono \(\left( \begin{align} & 8 \\ & 5 \\ \end{align} \right)=\frac{8!}{3!5!}=56\) modi distinti di ottenere la suddivisione \(5+3\), e, analogamente a quanto osservato in precedenza, vi sono \(\frac{4!}{2}=12\) modi diversi di ordinare il circolo di \(5\) persone, mentre quello restante di \(3\) persone ha un solo modo (\(\frac{2!}{2}=1\)) di definire le coppie di strette di mano, per cui in totale si hanno \(56\cdot 12\cdot 1=672\) liste distinte in questo secondo caso.
Infine, nel terzo caso, ci sono \(\frac{1}{2}\cdot\left( \begin{align} & 8 \\ & 4 \\ \end{align} \right)=\frac{8!}{2\cdot 4!4!}=35\) modi distinti di dividere le \(8\) persone in due sottogruppi di \(4\) (nota la divisione per \(2\), dovuta alla simmetria del caso), e vi sono \(\frac{3!}{2}=3\) modi diversi di ordinare ciascuno dei due circoli, per cui in totale si hanno \(35\cdot 3\cdot 3=315\) liste distinte in questo terzo caso.
Concludiamo sommando: il numero totale di liste distinte è \[2520+672+315=3507\quad .\]
Massimo Bergamini