Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
ho difficoltà a svolgere questo integrale: \[\int{\frac{{{e}^{x}}+x{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx\quad .}\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
l’integrale è di calcolo immediato nel momento in cui si riconosce che il numeratore della frazione è la derivata del denominatore: \[D\left( x{{e}^{x}}+1 \right)={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}\] per cui, trattandosi di un integrale della forma \[\int{\frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx=\int{d\ln \left( f\left( x \right) \right)=\ln \left| f\left( x \right) \right|}}+c\] si ha: \[\int{\frac{{{e}^{x}}+x{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx}=\ln \left| x{{e}^{x}}+1 \right|+c\quad .\]
Massimo Bergamini