Ricevo da Ettore la seguente domanda:
Caro professore,
chiedo un aiuto, non riesco a individuare la giusta sostituzione per risolvere i seguenti integrali (n.580, pag.1993 e n.605, pag. 1995, Matematica.blu 2.0): \[\int{\frac{1+\tan x}{\cos x}dx\quad \quad }\int{{{e}^{-x}}\sqrt{1+{{e}^{-2x}}}dx}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Ettore,
nel primo caso utilizziamo la sostituzione \(t=\tan \frac{x}{2}\), che porta alle cosiddette formule goniometriche parametriche, da cui: \[\cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\quad 1+\tan x=1+\frac{2t}{1-{{t}^{2}}}=\frac{-{{t}^{2}}+2t+1}{1-{{t}^{2}}}\quad dx=\frac{2}{1+{{t}^{2}}}dt\] e quindi l’integrale è ricondotto al seguente:
\[\int{\frac{2\left( 1-{{t}^{2}}+2t \right)}{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}}}dt=2\int{\frac{1}{1-{{t}^{2}}}dt+4\int{\frac{t}{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}}dt}}\quad .\] Il primo dei due integrali si risolve con la tecnica dei fratti semplici, cioè:
\[2\int{\frac{1}{1-{{t}^{2}}}dt=\int{\frac{1}{1-t}}dt}+\int{\frac{1}{1+t}}dt=\ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right|+c=\ln \left| \frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}} \right|+c\] mentre il secondo, con l’ulteriore sostituzione \(p=1-{{t}^{2}}\), \(2tdt=-dp\), comporta: \[4\int{\frac{t}{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}}dt}=-2\int{\frac{dp}{{{p}^{2}}}=\frac{2}{p}+c=\frac{2}{1-{{t}^{2}}}+c=}\]\[=\frac{1+{{t}^{2}}+1-{{t}^{2}}}{1-{{t}^{2}}}+c=\frac{1+{{t}^{2}}}{1-{{t}^{2}}}+c=\frac{1}{\cos x}+c\] per cui, in definitiva: \[\int{\frac{1+\tan x}{\cos x}dx}=\ln \left| \frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}} \right|+\frac{1}{\cos x}+c\quad .\]
Nel secondo caso, prima di tutto osserviamo che, operando la sostituzione \(x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}=t\to x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t}\), \(dx=\frac{{{t}^{2}}+1}{2t}dt\), si ha: \[\int{\frac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}dx=\int{\frac{dt}{t}=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)+c}}\quad .\] L’integrale in questione, con la sostituzione \(p={{e}^{-x}}\), \(dp=-{{e}^{-x}}dx\) e procedendo per parti, risulta: \[\int{{{e}^{-x}}\sqrt{1+{{e}^{-2x}}}dx}=-\int{\sqrt{1+{{p}^{2}}}dp}=-p\sqrt{1+{{p}^{2}}}+\int{\frac{{{p}^{2}}}{\sqrt{1+{{p}^{2}}}}dp}\] e poiché \[\int{\frac{{{p}^{2}}}{\sqrt{1+{{p}^{2}}}}dp}=\int{\frac{1+{{p}^{2}}}{\sqrt{1+{{p}^{2}}}}dp} -\int{\frac{1}{\sqrt{1+{{p}^{2}}}}dp}=\int{\sqrt{1+{{p}^{2}}}dp}-\int{\frac{1}{\sqrt{1+{{p}^{2}}}}dp}\] si ha: \[-\int{\sqrt{1+{{p}^{2}}}dp}=-p\sqrt{1+{{p}^{2}}}+\int{\sqrt{1+{{p}^{2}}}dp}-\int{\frac{1}{\sqrt{1+{{p}^{2}}}}dp}\to \]\[\to 2\int{\sqrt{1+{{p}^{2}}}dp}=p\sqrt{1+{{p}^{2}}}+\int{\frac{1}{\sqrt{1+{{p}^{2}}}}dp}\to\int{\sqrt{1+{{p}^{2}}}dp}=\frac{1}{2}p\sqrt{1+{{p}^{2}}}+\frac{1}{2}\ln \left( p+\sqrt{1+{{p}^{2}}} \right)+c\]per cui: \[\int{{{e}^{-x}}\sqrt{1+{{e}^{-2x}}}dx}=-\frac{1}{2}{{e}^{-x}}\sqrt{1+{{e}^{-}}^{2x}}-\frac{1}{2}\ln \left( {{e}^{-x}}+\sqrt{1+{{e}^{-2x}}} \right)+c=\]\[=-\frac{1}{2}{{e}^{-x}}\sqrt{1+{{e}^{-}}^{2x}}-\frac{1}{2}\ln \left( 1+\sqrt{1+{{e}^{-2x}}} \right)+\frac{1}{2}x+c\quad .\]
Massimo Bergamini