Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Gentile professore,
ho qualche difficoltà nel risolvere il seguente esercizio (pag.1744, n.90, Matematica.blu 2.0):
Data la funzione
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \arctan (x-2)\quad\quad\;\; se\;x\le 2 \\ a\ln (x-1) +b-2a\quad se\;x>2 \end{array} \right.\]
trova \(a\) e \(b\) in modo che risulti continua e derivabile in \(x=2\). Trova poi le equazioni delle tangenti nei punti di ascissa \(2\) e \(3\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
innanzitutto la continuità in \(x=2\) implica \[\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=0=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b-2a\leftrightarrow b=2a\] mentre la derivabilità, sempre in \(x=2\), implica \[\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1+{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=1=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{x-1}=a\leftrightarrow a=1\] da cui \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \arctan (x-2)\quad se\;x\le 2 \\ \ln (x-1)\quad se\;x>2 \end{array} \right. \quad .\]
Poiché \(f’\left( 2 \right)=1\), \(f’\left( 3 \right)=\frac{1}{2}\), \(f\left( 2 \right)=0\), \(f\left( 3 \right)=\ln 2\), si hanno le rette tangenti \[y=x-2\quad \quad \quad y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}+\ln 2\quad .\]
Massimo Bergamini