Ricevo da Francesco la seguente domanda:
Caro professore,
ho difficoltà nello svolgere questo esercizio (p.895, n.350, punto a), Matematica.blu 2.0).
È data la semicirconferenza di centro \(O\) e diametro \(AB=2\) e la corda \(CD=\sqrt{2}\), con \(C\) più vicino a \(B\). Costruisci il quadrilatero ABCD e determina l’area \(f(x)\) in funzione dell’angolo \(A\hat{O}D=x\).
Grazie
Gli rispondo così:
Caro Francesco, 
per il teorema della corda, possiamo dire che \(D\hat{O}C=\frac{\pi }{2}\), essendo \(\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2} D\hat{O}C\) l’angolo alla circonferenza che sottende la corda \(DC\). Ne consegue che l’area del triangolo \(DOC\) è \(\frac{1}{2}\), indipendentemente dall’angolo \(x\), e inoltre:
\[Area\left( AOD \right)=\frac{1}{2}\sin x\quad \quad Area\left( BOC \right)=\frac{1}{2}\sin \left( \frac{\pi }{2}-x \right)=\frac{1}{2}\cos x\] per cui: \[f\left( x \right)=\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)+\frac{1}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini